一、单项选择题1.
是函数f(x)在点x
0连续的______条件.
A B C D
A
[解析] 由
=
知极限
存在.由函数在一点连续的定义知,这个条件仅是f(x)在x
0连续的必要条件.
3. 下列为复合函数的是______
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=arcsinx
A B C D
B
[解析] A项y=
与D项y=arcsinx均为基本初等函数.C=
不是函数而B项y=
可看成由y=e
u,u=
,v=1+sinx构成的复合函数.
二、填空题1. 函数______的原函数为
.
[解析]
2. 在函数f(x)=
中,x
3的系数是______.
-2
[解析] 令D=f(x),则由三阶行列式的定义计算D的值,可知x3的系数是-2.
3. 已知∫f(x)dx=sinzx+C,则f(x)=______.
sin2x
[解析] 由∫f(x)dx=sin2x+C f(x)=2sinxcosx=sin2x
4. 如果在[a,b]上f(x)=2,则
=______.
4(b-a)
[解析]
5. 设函数y=arctan(-3x),则dy=______dx.
6.
=______.
.
[解析] 由矩阵的乘运算可求得结果.
7. 无穷限反常积分
=______.
[解析] 本题考察无穷限反常积分的求法,
.
9. 曲线y=2x
2+3x-26上点M处的切线斜率是15,则点M的坐标是______.
(3,1)
[解析] ∵y'=4x+3=15,∴x=3,又y(3)=2×32+3×3-26=1,∴点M的坐标是(3,1).
10. 设y=xe
x,则y"(0)=______.
2
[解析] 本题考察二阶导数的运算,y'=ex+xex,y"=ex+ex+xex,x=0时,y"=2.
四、综合题1. 某市居民在购房时,面积不超过120m
2时,按购房总价的1.5%向政府交税;面积超过120m
2时,除120m
2要执行前述的税收政策外,超过的部分按3%向政府交税.已知房屋单价是5000元/m
2,则购买125m
2的房屋应向政府交税多少元?
由题意知,当面符号不超过120m
2时,每平方米交的税款为
500×1.5%元=75元,
购买面积x应交税款为75x元;当面积超过120m
2时,超过部分每平方米应交税款为
500×3%元=150元,
购买面积x应交税款为
75×120+150(x-120),
于是交税额y与购买房层的面积x的关系为
所以,当x=125时,交税额y=9000+150(125-120)=9750.
2. 求函数f(x)=x
3-3x
2-9x+5的极值.
f(x)的定义域(-∞,+∞)
f'(x)=3x
2-6x-9=3(x+1)(x-3)
令f'(x)=0得驻点x
1=-1,x
2=3
列表
x |
(-∞,-1) |
-1 |
(-1,3) |
3 |
(3,+∞) |
f'(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
y=f(x) |
↗ |
极大 |
↘ |
极小 |
↗ |
由上表可知f(x)在x=-1取得极大值f(-1)=10,在x=3取得极小值f(3)=-22.