一、选择题1. 设g(x)在区间(-∞，+∞)内具有连续的一阶导数且g'(x)＞0，并设
则
- A.f(0)是f(x)的极大值．
- B.f(0)是f(x)的极小值．
- C.曲线y=f(x)在区间(-∞，0)上是凹弧，在(0，+∞)上是凸弧．
- D.曲线y=f(x)在区间(-∞，0)上是凸弧，在(0，+∞)上是凹弧．
A B C D
D
[解析]
其中由积分中值定理知，ξ介于0与x之间．再进一步，
g(ξ)-g(0)=g'(η)ξ，
其中η介于0与ξ之间．
由于ξ与x同号，所以当x≠0时，
f'(x)=2xξg'(η)＞0．
不选A，也不选B．再求
其中ζ介于0与x之间．由上式知，当x＜0时f"(x)＜0，当x＞0时f"(x)＞0．选D．
2. 当x→0时，下列4个无穷小量关于x的阶数最高的是
A．x
2+x
4.
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析] 当x→0时，
A．x
2+x
4～x
2．
B．
C．
D．
3. 下列反常积分收敛的是
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[解析]
通过具体计算，可知A、B、C均发散．
4. 由曲线
和其水平渐近线
以及y轴所围区域的面积A为
A．
B．
C．
D．
A B C D
A
[解析]
5. 船航行每小时的费用由两个部分组成．日常开销(固定部分)为k
1，燃油费(变动部分)与速度立方成正比，比例系数k
2＞0．在航程确定的情况下，使船航行总费用最小的航速为
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 航行总费用y与航速vkm/h有关，设航程为skm，则航行时间为
所以有
当
时，
y单调递减；
y单调递增．
所以
时，航行总费用最省．
6.
A．e
B．2e．
C．
D．e
2．
A B C D
C
[解析]
其中(ξ，η)∈D
t，D
t={(x,y)|t≤x≤2t，t≤y≤x)，A(t)为D
t的面积．
由于t→0
+时，有D
t→(0，0)，所以(ξ，η)→(0，0)，
7. 设α
1，α
2，α
3，α
4是4个4维非零列向量，A=(α
1,α
2，α
3，α
4)．且AX=0的通解为
k为任意常数，则以下5个向量组，
①α
1，α
2，α
3； ②α
1+α
2，α
2+α
3，α
3+α
1； ③α
1+α
2，α
2+α
3，α
3+α
4，α
4+α
1；
④α
2，α
3，α
4； ⑤α
1，α
2，α
4，
可作为A
*X=0的基础解系的向量组的个数为
A B C D
B
[解析] 首先，由AX=0的通解结构，知r(A)=3，故r(A
*)=1，于是A
*X=0的基础解系中有3个向量，排除③；
又由A*A=|A|E=0，知α
1，α
2，α
3，α
4均为A*X=0的解，且α
1+α
3=0，于是α
1，α
2，α
3线性相关，排除①；再看②，
故r(α
1+α
2，α
2+α
3，α
3+α
1)≤r(α
1，α
2，α
3)＜3，排除②;
最后看④、⑤，由于r(A)=3，故α
1，α
2，α
3，α
4中存在3个线性无关的向量，又α
1+α
2=0，即α
1，α
2，α
3；α
1，α
3，α
4均线性相关，而④α
2，α
3，α
4与⑤α
1，α
2，α
4必都线性无关，否则就不存在3个线性无关的向量了，故④、⑤均符合题意，答案选择B．
8. 设矩阵
矩阵A～B，则秩r(A-E)+r(A-3E)=
A B C D
A
[解析] 由矩阵B的特征多项式
可得B的特征值为λ
1=0，λ
2=-2，λ
3=λ
4=3．
因为A～B，所以矩阵A与矩阵B有相同的特征值．又因为B是实对称矩阵，故B可相似于对角矩阵．
从而，矩阵A也可相似于对角矩阵．所以，矩阵A的2重特征值λ
3=λ
4=3，必有2个线性无关的特征向量．
由此可知，r(3E-A)=n-2=4-2=2，即r(A-3E)=2．又因为λ=1不是矩阵A的特征值，故知|E-A|≠0．所以，r(E-A)=4，即r(A-E)=4．因此，
r(A-E)+r(A-3E)=4+2=6．
二、填空题1. 设常数a≠2．函数
在区间(0，+∞)上连续的充要条件是a=______．
[解析] 当0＜x＜1时，f(x)=1；当x=1时，
当x＞1时，
在x=1处连续的充要条件是
而在x＞0的其它处，无论a取什么值，f(x)总是连续的．所以f(x)在(0，+∞)上连续的充要条件是
2. 设常数a＞0，b＞0．则
[解析] 交换积分次序
3. 设存在二元可微函数u(x，y)，
du(x，y)=(axy
3-y
2cos x)dx+(1+bysin x+3x
2y
2)dy，
则常数a=______，b=______，函数u(x，y)=______．
2；-2；x2y3-y2sin x+y+C(其中C是任意常数)
[解析] 由题给条件知，
于是有
所以a=2，b=-2．于是
du(x,y)=(2xy
3-y
2cosx)dx+(1-2ysin x+3x
2y
2)dy
=(2xy
3dx+3x
2y
2dy)-(y
2cosxdx+2ysin xdy)+dy
=d(x
2y
3)-d(y
2sin x)+dy
=d(x
2y
3-y
2sin x+y)，
所以u(x,y)=x
2y
3-y
2sinx+y+C(其中C是任意常数)．
4. 设
则f
(2 016)(0)=______．
2 016!
[解析] 注意，f(x)的分母不能因式分解而将f(x)拆项，改想别的办法．
由幂级数展开式的唯一性知
f
(k)(0)=k!a
k (k=0，1，2，…)．
当k=2 016时，3n=2 016，n=672．所以
f
(2 016)(0)=2 016!a
2 016=2 016!(-1)
672=2 016!
5. 微分方程y"+4y=2x
2在原点处与直线y=x相切的特解为______．
[解析] 由题意，在原点处切线的斜率为y'|
x=0=1，且y|
x=0=0． ①
特征方程r
2+4=0，对应齐次微分方程的通解为C
1 cos 2x+C
2 sin 2x．
又微分方程的一个特解为
因而非齐次方程的通解为
将①代入上式，得特解为
6. 设实二次型f(x
1，x
2，x
3)=x
TAx经正交变换化成的标准形为
A
*是A的伴随矩阵，且向量α=(1,1,-1)
T满足A*α=α，则二次型f(x
1，x
2，x
3)=______.
2x1x2-2x1x3-2x2x3
[解析] 由于A的特征值为2，-1，-1，所以|A|=2×(-1)×(-1)=2．
对A*α=α两边左乘A，并利用AA'=|A|E得Aα=2α．这表明α是A的对应于特征值2的特征向量．
取α
2=(0，1，1)
T，α
3=(-2，1，-1)
T，则α，α
2，α
3两两正交，将它们分别单位化，
令Q=(q
1，q
2，q
3)，即Q为正交矩阵，且
所以二次型f(x
1，x
2，x
3)=2x
1x
2-2x
1x
3-2x
2x
3.
三、解答题1. 设函数z=z(x,y)是由方程
x
2-6xy+10y
2-2yz-z
2+32=0
确定，讨论函数z(x，y)的极大值与极小值．
[解] 将x
2-6xy+10y
2-2yz-z
2+32=0两边分别对x、对y求偏导数，有
为求驻点，令
联立方程得
再与原设方程
x
2-6xy+10y
2-2yz-z
2+32=0
联立解得点(12，4，4)
1与(-12，-4，-4)
2．再将(*)与(**)对x、对y求偏导数，得
及
再以
点(12，4，4)
1代入得
所以z=4为极小值．
点(-12，-4，-4)
2代入得
所以z=-4为极大值．
2. 设x＜1且x≠0．证明：
[证]
当0＜x＜1时，xln(1-x)＜0；当x＜0时仍有xln(1-x)＜0．
为证
等价于证明，当x＜1且x≠0时
ln(1-x)+x-xln(1-x)＞0．
令 f(x)=ln(1-x)+x-xln(1-x)，f(0)=0，
有
f'(0)=0，f"(0)=1＞0，所以f(0)=0是f(x)的唯一极小值，是最小值，所以当x＜1时f(x)≥0且仅当x=0时f(x)=0．证毕．
3. 若函数f(x)在[a，b]上连续，证明：
使得
[证] 令
则F(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件．
故
使得
F(b)-F(a)=F'(ξ)(b-a)，
即
4. 计算
[解] 由于
是连续的，由积分中值定理，存在
(x＞0)，使
由于
而在x→+∞时，有
由夹逼定理可知，x→+∞时，
且有ξ→+∞，故
5. 设曲线y=y(x)在
点与直线4x-4y-3=0相切，且y=y(x)满足方程
求该曲线在相应x∈[-1，1]上点(x，y)处的曲率．
[解] 令p=y'，由
得
解得
由
时，p=1，得C
1=0．从而
解得
在(x，y)点的曲率
(k是正常数)，且
7.
证明：数列{x
n}收敛，并求
[证] 由题知
由x
0＞0及k＞0知x
n＞0(n=1，2，…)．故
因此，{x
n}单调递减有下界，故数列收敛．
设
得
求得
8. 设平面区域
其中常数a＞0，b＞0，求二重积分
[解] 用直角坐标．由对称性，
作积分变量变换，令x=asin t，
9. 如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的总压力是多少?
[解] 平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的总压力为
10. 设水位下降，如果在时刻t时水面位于y=h(t)处，且水面匀速下降速率为0.01(m/s)．问：当水面下降至平板的中位线时，一侧所受到的水压力的下降速率是多少?
[解] 水面位于y=h(t)处，水压力为
则水压力的下降速率为
由题意知h'=0.01，当水面下降至平板的中位线时，h=0，代入上式得
齐次线性方程组(ii)的基础解系为
ζ1=(-1，1，2，4)T，ζ2=(1，0，1，1)T．11. 求方程组(i)的基础解系；
[解] 对齐次线性方程组(i)的系数矩阵作初等行变换，得
其同解方程组为
由此解得方程组(i)的基础解系为
η
1=(2，-1，1，0)
T，η
2=(-1，1，0，1)
T．
12. 求方程组(i)与(ii)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(i)，(ii)的基础解系线性表示．
[解] 由上题解得方程组(i)的基础解系η
1，η
2．于是，方程组(i)的通解为
k
1η
1+k
2η
2=k
1(2，-1，1，0)
T+k
2(-1，1，0，1)
T (k
1，k
2为任意常数)．
由题设知，方程组(ii)的基础解系为ξ
1，ξ
2，其通解为
l
1ξ
1+l
2ξ
2=l
1(-1，1，2，4)
T+l
2(1，0，1，1)
T (l
1，l
2为任意常数)．
为求方程组(i)与(ii)的公共解，令它们的通解相等，即
k
1(2，-1，1，0)
T+k
2(-1，1，0，1)
T =l
1(-1，1，2，4)
T+l
2(1，0，1，1)
T．
从而，得到关于k
1，k
2，l
1，l
2的方程组
对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得
由此可得，k
1=k
2=l
2,l
1=0．
所以，令k
1=k
2=k，方程组(i)，(ii)的非零公共解是
k(2，-1，1，0)
T+k(-1，1，0，1)
T=k(1，0，1，1)
T(k为任意非零常数)．
并且，方程组(i)，(ii)的非零公共解分别由方程组(i)，(ii)的基础解系线性表示为
k(η
1+η
2)和0·ξ
1+kξ
2．
13. 若A、B均为n阶矩阵，且A
2=A，B
2=B，r(A)=r(B)，证明：A、B必为相似矩阵．
[证] 由A2=A，可知A的特征值为0或1，对应于0、1的线性无关的特征向量的个数
分别为n-r(0·E-A)与n-r(1·E-A)．
又由于A2-A=0，即A(A-E)=0，则r(A)+r(A-E)≤n，于是A的线性无关的
特征向量的总个数为
n-r(0·E-A)+n-r(1·E-A)=2n-[r(-A)+r(E-A)]≥2n-n=n，
故A有n个线性无关的特征向量，则A可相似对角化．
同理，B的特征值为0或1，可相似对角化，且由题设，r(A)=r(B)，可知A、B有完全相同的特征值，即A、B相似于同一对角阵．故A、B必相似．
而
再由
得C=0，所以
深色：已答题 浅色：未答题