单项选择每小题所给出的4个选项中,只有一项是正确的.
1. 周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为a,b和c,则a,b,c的大小关系是______.
- A.a>b>c
- B.b>c>a
- C.c>a>b
- D.a>c>b
A B C D
A
[解析] 周长为l的圆半径为
面积为
周长为l的正方形边长为
面积为
周长为l的正三角形边长为
面积为
因为
所以
即a>b>c.
故选A.
3. 已知某单位的A部门人数占单位总人数的25%,B部门人数比A部门少
C部门有156人,比B部门多
该单位共有______人.
A B C D
C
[解析] 因为
所以B=120.
又因为
所以A=150.从而单位总人数为
故选C.
6. 把两个不同的白球和两个不同的红球任意地排成一列,结果为两个白球不相邻的概率是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 总排列数为
要求白球不相邻,可以先定两个位置放白球,放法有
两白球的左、右端和中间三处空位.若选左端和中间各放一红球,有
种排法.同理选中间和右端各放一红球,也有2种排法.若选中间放两个红球,也是2种放法.白球不相邻的排法有
种.所求概率为
若考虑两个白球相邻的情况,如果把两个白球作为一个整体与两个红球作排列,则有
种排法,三个位置中的一个放两个白球,又有
种排法,所以两个白球相邻的概率为
白球不相邻的概率为
故选D.
8. 设a>0,b>0.若
是3
a与3
b的等比中项,则
的最小值为______.
A.3
B.4
C.1
D.
A B C D
B
[解析] 由题意,
即3
a+b=3,所以有a+b=1,从而
由均值不等式
所以
当
时等号成立.
故选B.
9. 甲、乙、丙三人同时从起点出发进行1000m自行车比赛(假设他们各自的速度保持匀速不变),甲到达终点时,乙距终点还有40m,丙距终点还有64m.那么乙到达终点时,丙距终点______m.
A B C D
B
[解析] 设甲、乙、丙三人的速度分别为v
1,v
2,v
3(单位:m/s),依题意得
所以
故乙到达终点时,丙距终点还有25m.
故选B.
10. 已知{a
n}是公差为正数的等差数列,若a
1+a
2+a
3=15,a
1a
2a
3=80,则a
11+a
12+a
13=______.
A B C D
B
[解析] 由条件有a2-d+a2+a2+d=15,得a2=5.又由a1a2a3=80,可得(a2-d)(a2+d)=16,从而得d2=9.因公差为正数,有d=3.
a11+a12+a13=a2+9d+a2+10d+a2+11d
=3a2+30d
=105.
故选B.
12. 已知集合M={x|sinx>cosx,0<x<π},N={x|sin2x>cos2x,0<x<π},则M∩N=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 在(0,π)上分别作出y=sinx和y=cosx,y=sin2x和y=cos2x的图像(见下图),即可看出
所以
故选B.
13. 直线l:x+y=b与圆C:(x-1)
2+(y-1)
2=2相交于A,B两点,若|AB|=2,则b的值等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 用代数方程求解,以y=b-x代入圆C方程得
2x
2-2bx+(b-1)
2-1=0,
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则有
x
1+x
2=b,
(x
1-x
2)
2=(x
1+x
2)
2-4x
1x
2 =b
2-2(b
2-2b)=-b
2+4b.
|AB|
2=(x
1-x
2)
2+(y
1-y
2)
2 =2(z
1-x
2)
2=2(-b
2+4b),
由|AB|
2=4,即得-b
2+4b=2,解得
本题借助图形也很容易分析(见下图),即考查斜率为-1的直线l与圆C(圆心在Q(1,1),半径为
)交于A,B,|AB|=2.因
所以△QAB为等腰直角三角形,Q到l距离为1.用
即可定出
故选C.
14. 椭圆
(1>b>0)的右顶点为A.已知椭圆上存在一点P,使
(O为坐标原点),则b的取值范围为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 已知A(1,0).设P(x,y),由条件
得OP垂直于PA,做内积得(x,y)·(x-1,y)=0,即x(1-x)-y
2=0.
以y
2=b
2(1-x
2)代入,得
(1-b
2)x
2-x+b
2=0.
分解因式得(x-1)[(1-b
2)x-b
2]=0.因x<1得
故选B.
15. 如下图,ABCD是边长为1的正方形,AC=CE.△AFC的面积为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 在△EAB中FC//AB,所以
于是
故选A.
16. 设当x→0时,(e
x2-1)ln(1+x
2)是比xsinx
n高阶的无穷小量,而xsinx
n是比(2+x)tanx
2高阶的无穷小量,则正整数n等于______.
A B C D
B
[解析] 当x→0时
(ex2-1)ln(1+x2)~x2·x2=x4,xsinxn~x·xn=xn+1,(2+x)tanx2~2x2,由题目条件有2<n+1<4,从而n=2.
故选B.
17.
______.
A.2xe
x2f(e
2x2)
B.
C.2xe
x2f(e
x2)
D.
A B C D
C
[解析] 在
中,令te
x2=u,则当t=1时,u=e
x2;当t=0时,u=0;dt=e
-x2du,因此
于是
故选C.
18. 方程3xe
x+1=0在(-∞,+∞)内实根的个数为______.
A B C D
C
[解析] 设f(x)=3xe
x+1,则f'(x)=3e
x+3xe
x=3(1+x)e
x.令f'(x)=0,得x=-1.当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时f'(x)>0.由此可得f(x)在(-∞,-1)内单调递减,在(-1,+∞)内单调增加,x=-1是f(x)的唯一极小值点,因而是最小值点,最小值为f(-1)=-3e
-1+1<0.
由函数的单调性和零点存在定理可判断f(x)在(-∞,-1)内和(-1,+∞)内各有一个零点,因此方程f(x)=0在(-∞,+∞)内恰有两个根.
故选C.
注 (1)
(2)对本题利用零点存在定理时,可用如下方法:
f(-1)<0,f(1)=3e+1>0,因此f(z)在(-3,-1)内和(-1,1)内至少各有一个零点.
20.
______.
A.0
B.
C.4e
D.
A B C D
B
[解析] 注意到e
x-e
-x为奇函数,所以x(e
x-e
-x)为偶函数,x
4(e
x-e
-x)为奇函数,因此
故选B.
21. 当y=a
2-x
2(x≥0)与x轴、y轴及x=2a(a>0)围成的平面图形的面积A等于16时,a=______.
A.1
B.
C.2
D.
A B C D
C
[解析] 根据定积分的几何意义,有
由2a
3=16得a=2.
故选C.
22. 设A,B,C均是n阶矩阵,则下列结论中正确的是______.
- A.若A≠B,则|A|≠|B|
- B.若A=BC,则AT=BTCT
- C.若A=BC,则|A|=|B||C|
- D.若A=B+C,则|A|≤|B|+|C|
A B C D
C
[解析] 设
则A≠B,但|A|=1,|B|=1.故A不对.
A=BC,则A
T=C
TB
T,而矩阵乘积是不能交换顺序的,故B不对.
C是正确的.D不对,例如设
而|A|=1,|B|=0,|C|=0,故|A|≤|B|+|C|不成立.
故选C.
23. 下列矩阵中,与对角阵
相似的矩阵是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 与对角阵
相似的矩阵对应于特征值λ=1应有两个线性无关的特征向量,由于
所以矩阵
对应于特征值λ=1有两个线性无关的特征向量,故其与对角阵
相似.
故选C.
24. 设η
1,η
2,η
3,η
4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则Ax=0的基础解系还可以是______.
- A.η1-η2,η2+η3,η3-η4,η4+η1
- B.η1+η2,η2+η3+η4,η1-η2+η3
- C.η1+η2,η2+η3,η3+η4,η4+η1
- D.η1+η2,η2-η3,η3+η4,η4+η1
A B C D
D
[解析1] 由题目条件知Ax=0的基础解系中含有4个线性无关的解向量,而B中仅有3个解向量,个数不符合要求,故不选B.
容易观察到选项A,C中的向量满足
(η
1-η
2)+(η
2+η
3)-(η
3-η
4)-(η
4+η
1)=0,
(η
1+η
2)-(η
2+η
3)-(η
3+η
4)-(η
4+η
1)=0.
这表明A,C中的解向量都线性相关,虽然A,C含有4个解向量.但A,C都不是Ax=0的基础解系.
由排除法,正确选项为D.
故选D.
[解析2] D中的解向量可写为
而
这表明η
1+η
2,η
2-η
3,η
3+η
4,η
4+η
1线性无关.又η
1+η
2,η
2-η
3,η
3+η
4,η
4+η
1都是Ax=0的解,并且解向量的个数为4,所以正确选项为D.
注意 A,C中的解向量也可用如下方法判断其线性相关性.A中的解向量可写为
而
这表明A中的向量线性相关;C中的解向量可写为
而
这表明C中的向量线性相关.
25. 设矩阵A=(a
ij)
m×n,其秩r(A)=r,则非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是______.
A B C D
A
[解析] 当r(A)=r=m时,矩阵A的m个行向量线性无关,因此,线性方程组Ax=b的增广矩阵
的秩
所以Ax=b有解.
故选A.
注意 r=m仅是线性方程组Ax=b有解的充分条件,当Ax=b有解时,不一定有r(A)=r=m.例如,取
时,Ax=b有唯一解x
1=1,
显然r(A)=2≠3(行数).
下面举例说明B,C,D中条件成立,均不一定有
从而Ax=b不一定有解.
例如,当
时,m=n=x,但r(A)=1,
因此,Ax=b无解.不选B.
当
时,r(A)=2=n,
因此,Ax=b无解,不选C.
当
时,m=2<n=3,
因此,Ax=b无解.不选D.