一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目的要求.1. 设
当x→0
+时,以下三个无穷小量按从低阶到高阶的排序是______
- A.a1,a2,a3
- B.a2,a3,a1
- C.a2,a1,a3
- D.a3,a2,a1
A B C D
B
[考点] 洛必达法则
[解析] 等价无穷小
当x→0
+时,
所以这三个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是a
2,a
3,a
1.故选B.
2. 已知函数
则f(x)的一个原函数是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 分段函数原函数
[解析] 由定理可知,原函数可导,由此原函数必然连续,所以原函数在x=1处连续,A和C被排除.
在B选项中,可以验证F'+(1)=2,根据题意又可知,原函数满足F'(1)=f(1)=0.
故B不符合,因此选D.
3. 反常积分
的敛散性为______
- A.①收敛,②收敛
- B.①收敛,②发散
- C.①发散,②收敛
- D.①发散,②发散
A B C D
B
[考点] 广义积分敛散性判别
[解析] 由题意可知:式①为
则式①收敛.
式②为
则式②发散.
故选B.
5. 设函数f
i(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且f"
i(x
0)<0(i=1,2),若两条曲线y=f
i(x)(i=1,2)在点(x
0,y
0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f
1(x)的曲率大于曲线y=f
2(x)的曲率,则在x
0的某个邻域内有______
- A.f1(x)≤f2(x)≤g(x)
- B.f2(x)≤f1(x)≤g(x)
- C.f1(x)≤g(x)≤f2(x)
- D.f2(x)≤g(x)≤f1(x)
A B C D
A
[考点] 函数连续及极限的保号性
[解析] 由题意可知,f"i(x)连续且f"i(x)(x0)<0,又依据连续的定义和极限的保号性,在x0的某邻域U(x0)内有f"i(x)<0,故fi(x)在U(x0)内是凸的.
又由于在x=x0处具有公切线y=g(x),因此曲线与切线的位置关系为fi(x)≤g(x).
又由于在x0处y=f1(x)的曲率大于y=f2(x)的曲率,所以f"1(x0)<f"2(x0)<0.
令F(x)=f1(x)-f2(x),因为在x=x0处具有公切线y=g(x),所以F(x0)=0,F'(x0)=0.
再由F"(x0)<0,得F(x0)=0为F(x)的极大值,因在x0的某邻域U1(x0)内F(x)≤0,所以f1(x)≤f2(x).
故f1(x)≤f2(x)≤g(x),选A.
8. 设二次型
的正负惯性指数分别为1,2,则______
- A.a>1
- B.a<-2
- C.-2<a<1
- D.a=1或a=-2
A B C D
C
[考点] 二次型正惯性指数
[解析] 由题意已知,二次型f(x
1,x
2,x
3)对应的矩阵为
由
可得A的特征值为λ
1=a+2,λ
2=λ
3=a-1.
又因为f(x
1,x
2,x
3)的正负惯性指数为1,2,且正负惯性指数恰好等于特征值中正、负数的个数,所以a+2>0且a-1<0,即-2<a<1.故选C.
二、填空题1. 曲线
的斜渐近线方程为______.
[考点] 渐近线
[解析] 由渐近线公式易得
由此可知,斜渐近线为
2. 极限
sin1-cos1
[考点] 定积分定义
[解析] 由题意可知,
又由定积分定义得
3. 以y=x
2-e
x和y=x
2为特解的一阶非齐次线性微分方程为______.
y'-y=2x-x2
[考点] 一阶非齐次线性微分方程
[解析] 设一阶非齐次线性微分方程为y'+p(x)y=q(x).
根据线性微分方程解的关系可知,x2-(x2-ex)=ex为y'+p(x)y=0的解,所以p(x)=-1.
又因为y=x2为y'+p(x)y=g(x)的解,所以q(x)=2x-x2.
由此可得一阶非齐次线性微分方程为y'-y=2x-x2.
4. 已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,
则当n≥2时,f
(n)(0)=______.
[考点] 高阶导数
[解析] 由题意,当x=0时f(0)=1.
将
两边同时对x求导,得f'(x)=2(x+1)+2f(x),其中f'(0)=4;
将f'(x)=2(x+1)+2f(x)两边同时对x求导,得f"(x)=2+2f'(x),其中f"(0)=10;
将f"(x)=2+2f'(x)两边同时对x求导,得
由此归纳可得f
(n)(x)=2
n-2f"(x).所以
5. 已知动点P在曲线y=x
3上运动,记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数v
0,则当点P运动到点(1,1)时,l对时间的变化率是______.
[考点] 导数
[解析] 由距离定义并结合题意易得
两边同时对t求导得
又因为x=1,
所以
6. 设矩阵
等价,则a______.
2
[考点] 矩阵等价
[解析] 设
对B进行初等行变换,得
得r(B)=2.
因为A与B等价,所以r(A)=r(B)=2,于是行列式
即a=2或a=-1.
又因为当a=-1时,行列式
此时r(A)=1,不符合题意,故删去.由此可得a=2.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 求极限
2. 设函数
求f'(x)并求f(x)的最小值.
由题意可知,
所以f'(x)=4x
2-2x=2x(2x-1).
令f'(x)=0,得
(x>0),且
根据极小值定义可知,f(x)在
处取极小值,且为最小值
[考点] 最小值
3. 已知函数z=z(x,y)由方程(x
2+y
2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定,求z=z(x,y)的极值.
根据题意,将方程(x
2+y
2)z+lnz+2(x+y+1)=0两边分别同时对x,y求偏导数得
令
解得
又对式①关于x求偏导数,对式①关于y求偏导数,对式②关于y求偏导数,将式③、式④代入得
解得
又因为AC-B
2>0,A<0,故z=z(x,y)在(-1,-1)处取得极大值,极大值z(-1,-1)=1.
[考点] 偏导数
4. 设D是由直线y=1,y=x,y=-x围成的有界区域,计算二重积分
由题意可得积分区域
所以
[考点] 二重积分
5. 已知y
1(x)=e
x,y
2(x)=u(x)e
x是二阶微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y'+2y=0的两个解.若u(-1)=e,u(0)=-1,求u(x)并写出微分方程的通解.
根据题意,将y
2=u(x)e
x代入原方程可得
(2x-1)e
x[u"(x)+2u'(x)+u(x)]-(2x+1)e
x[u'(x)+u(x)]+2u(x)e
x=0,整理得(2x-1)u"(x)+(2x-3)u'(x)=0.
变量分离得
对两边进行积分,得
即
所以u'(x)=C
1(2x-1)e
-x.
对两边再次积分,得
u(x)=∫u'(x)dx=C
1∫(2x-1)e
-xdx
=C
1[-(2x-1)-2]e
-x+C
2 =C
1(-2x-1)e
-x+C
2.
将已知条件代入,即
u(-1)=C
1e+C
2=e,u(0)=-C
1+C2=-1,
解得C
1=1,C
2=0,所以
u(x)=-(2x+1)e
-x.
根据二阶齐次线性方程解得原方程的通解为
y(x)=D
1y
1+D
2y
2=D
1e
x-D
2(2x+1) (D
1,D
2为任意常数).
[考点] 二阶微分方程
6. 设D是由曲线
围成的平面区域,求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
根据题意,将
化成直角坐标系下的方程,可得
从而
所以体积为
表面积为
[考点] 定积分的应用
已知函数f(x)在上连续,在内是函数的一个原函数,且f(0)=0.7. 求f(x)在区间
上的平均值;
由题意可知
且f(0)=0,则
所以f(x)在
上的平均值为
8. 证明f(x)在区间在
内存在唯一零点.
根据题意,
令f'(x)=0,解得在
上的唯一驻点为
又当
时,f'(x)<0;当
时,f'(x)>0.则
为f(x)在
内的极小值点,也是最小值点.所以
根据单调性可知,函数f(x)在
内无零点;函数f(x)在
内有唯一零点.
综上所述f(x)在
内有唯一零点.
[考点] 定积分的应用及函数零点
设矩阵且方程组Ax=β无解.9. 求a的值;
将增广矩阵进行初等行变换,得
当a=0时,r(a)=2,r(A
┊β)=3,Ax=β无解.
10. 求方程组A
TAx=A
Tβ的通解.
当a=0时,
A
TA=0的基础解系为ξ=(0,-1,1)
T,A
TA=β的特解为η=(1,-2,0)
T,所以A
TA=β的通解为x=kξ+η,k为任意常数.
[考点] 线性方程组解法
已知矩阵11. 求A
99;
根据题意并结合特征值的定义,有
所以A的特征值为λ
1=-1,λ
2=-2,λ
3=0.
当λ
1=-1时,解(-E-A)x=0,由于
所以A对应于λ
1=-1的线性无关的特征向量
当λ
2=-2时,解(-2E-A)x=0,由于
所以A对应于λ
2=-2的线性无关的特征向量
当λ
3=0时,解(0E-A)x=0,即Ax=0,由于
所以A对应于λ
3=0的线性无关的特征向量
特征向量为
由P
-1AP=Λ易知
故A=PΛP
-1.
所以
12. 设3阶矩阵B=(α
1,α
2,α
3)满足B
2=BA.记B
100=(β
1,β
2,β
3),将β
1,β
2,β
3分别表示为α
1,α
2,α
3的线性组合.
由题意可知,
B
2=BA,
B
3=BBA=B
2A=BAA=BA
2.
B
4=B
2A
2=BAA
2=BA
3.
由此可得B
100=BA
99,所以有
故
β
1=(-2+2
99)α
1+(-2+2
100)α
2,
β
2=(1-2
99)α
1+(1-2
100)α
2,
β
3=(2-2
98)α
1+(2-2
99)α
2.
[考点] 特征值、特征向量、矩阵求法