B

[解析]
   熟练掌握数列极限的概念．

A

[解析] 根据f(x)的极限等于A的充分必要条件可知，
   又因为存在，所以，故a=1．
   熟练掌握极限的存在条件．

C

[解析] 因为，所以选C．
   重要极限的应用．

A

[解析]
   利用因式分解化简原式．

B

[解析] 当x→0时，sin x～x，tan x～x，，即x→0时，x与是等价无穷小．
   等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换，不能随意单独代换或分别代换)．

1

[解析]
   去括号相互消减．

[解析]
   极限的四则运算．

[解析]
   转化出常数项，利用分式的基本性质同时除以．

-1

[解析] ．
   所以k=-1．
   利用重要根限，消除指数的未知数．

[解析] 将x的值代入，根据极限的运算法则计算．

   并按四则运算法则有

[解析] 极限的四则运算代入．

   故所求极限等于

[解析] 先化简，再用四则运算计算．

[解析] 分式的分子、分母同时除以x，再利用重要极限．

令，因为，且，所以

[解析] 熟练掌握两个重要极限．

[解析] 极限的运算法则和重要极限的应用．

在点x=0处，
   因为，所以函数f(x)在点x=0处不连续．
   函数的图象如下图所示．
   

[解析] 函数的连续与间断的判定．

x＞0时，是初等函数，则f(x)在x∈(0，+∞)上连续；x≤0时，f(x)=a+x²是初等函数，连续；在x=0处，，，f(0)=a，
   则当f(0^-)=f(0⁺)=f(0)，即a=0时函数f(x)在x=0处连续．
   因此，当a=0时f(x)在(-∞，+∞)连续．

[解析] 熟练掌握函数的连续性．

在点x=1处，
   
   因为f(1^-)≠f(1⁺)，所以x=1是函数的第一类间断点(跳跃间断点)．

[解析] 函数间断点判别．

设函数f(x)=sin x+x+1，它是初等函数，在(-∞，+∞)内连续，因此在上连续，又
   由闭区间上连续函数性质知，在内至少存在一点ξ使f(ξ)=0，即sinξ+ξ+1=0，
   因此ξ是方程sin x+x+1=0在区间内的一个实根．

[解析] 连续函数的零点存在性．

设f(x)=x⁴-3x²+1，因为函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，又f(0)=1，f(1)=-1，故f(0)·f(1)＜0，则至少存在一点ξ∈(0，1)，使f(ξ)=0，即ξ⁴-3ξ²+1=0．
   因此，方程x⁴+1=3x²在区间(0，1)内至少有一个实根．

[解析] 连续函数的零点存在性．