D

[解析] 先用换元法，令，则x=t²，dx=2tdt．
   当x=0时，t=0；当x=1时，t=1．于是
   再用分部积分法，得
   换元法与分部积分法的结合使用是求积分的常用方法．

A

[解析]
   定积分与不定积分计算首先要掌握其基本公式，然后根据换元法和分部积分法来进行计算．

B

[解析] [lnf(x)]'=sec²x，得lnf(x)是sec²x的一个原函数．
   因为    ∫sec²xdx=tan x+C，
   所以    lnf(x)=tan x+C，
   f(x)=e^{tan x+C}=e^C·e^{tan x}=k·e^{tan x}．
   充分理解原函数的定义，以及清楚掌握原函数与积分之间的关系是本题的宗旨．

A

[解析]
   熟练掌握定积分基本公式．

C

[解析] ，则原方程的解为
   
   首先判断所求微分方程的类型是很重要的．通常将y视为函数，x视为自变量，按可分离变量、一阶线性方程的解法来求解．

A

[解析] 作两条抛物线的图形，如下图所示，
   
   得两组解即两抛物线交点为(0，0)，(1，1)．
   法一(公式法)：
   法二(元素法)：取x为积分变量，区间[0，1]上的任一小区间[x，x+dx]，其面积近似于高为，底为dx的窄曲边梯形面积．这样就得到面积元素
   于是，所求图形面积为定积分
   用作图法直观找到答案．

[解析]
   熟练掌握定积分的基本性质．

0

[解析] 令，因为f(-x)=-f(x)，所以该函数是奇函数，因此
   
   熟练掌握函数的奇偶性与定积分之间的关系．

-1

[解析] ，可得a=-1．
   熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式，并能运用此公式解题．

8

[解析]
   定积分与不定积分的换元法解题是求积分中最重要的方法之一．用换元法求不定积分技巧性比较强，需要有一定的观察能力和感觉．一般来说，带根号的就应想办法(用三角代换)去掉根号．

当n≠-1时，

[解析] 熟记常用的积分．

[解析] 不定积分性质的应用．

两边对x求导，(∫f(x)dx)'=(2^x+x+C)'，
   故f(x)=2^xln 2+1．

[解析] 对积分两边求导也是解题的一种技巧．

法一：设x=2tan t，则，故
   
   

[解析] 在此题中应用倒代换来进行计算更为方便快捷．

由sin 3x是f(x)的原函数之一，得(sin 3x)'=f(x)，所以f(x)=3cos 3x．
   ∫f'(x)dx=f(x)+C=3cos 3x+C．

[解析] 熟练掌握原函数与积分学之间的关系，并能活用．

[解析] 三角函数的积分计算要掌握其基本计算公式，切不可盲目计算．

   由f(x)为原函数，故必连续，即f(0⁺)=f(0)=C₁=f(0^-)=C₂．
   由f(2)=2²+3×2+C₁=15，得C₁=5，
   故

[解析] 由原函数来判断函数的连续性是此题的重点．

[证明] 因为
   令x=t+T，则
   所以
   所以

[解析] 连续周期函数在一个长度为一个周期的区间上积分是定值．

旋转椭球体可看做是由上半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体．如下图所示．
   
   取x为积分变量，积分区间为[-a，a]，于是，旋转椭球体的体积
   

[解析] 利用积分求平面图形的面积或体积是积分学在实际生活中的广泛应用．旋转体的体积公式是需要牢记的．

依题意，有，k＞0，并满足初始条件该方程是可分离变量的，分离变量后得
   
   两边积分，得ln M=-kt+ln C，即M=Ce^-kt．
   将初始条件M|_t=0=M₀代入上式，得C=M₀，故镭的衰变规律可表示为
   M=M₀e^-kt．

[解析] 分离变量方程的初值问题．

这个方程不是未知函数y与y'的线性方程，但是可以将它变形为
   
   若将x视为y的函数，则对于x(y)及其导数而言，上述方程是一个线性方程，由通解公式得
   
   将当x=2时，y=1代入，得因此，所求特解为

[解析] 熟练掌握线性方程的通解公式，并能活用．

原微分方程可以分离变量，分离变量后得
   两边积分
   解得ln |y|=x²+C₁，
   即|y|=e^x2+C₁=e^C₁·e^x2，
   整理得y=±e^C₁·e^x₂，
   因为±e^C₁仍是任意常数，把它记为C，便得原方程的通解为y=Ce^x2．

[解析] 可分离变量的微分方程的通用解题方法是对方程两边进行积分．

因为当x∈[0，π]时，0≤sin x≤1，所以
   由此有
   于是由估值定理有

[解析] 熟练应用估值定理．

令f(x)=e^x-x，x∈[-2，0]．
   因为：f'(x)=e^x-1＜0，x∈(-2，0)，所以f(x)在[-2，0]单调递减，
   故在[-2，0]上，f(x)≥f(0)=1＞0，即f(x)＞0．
   由性质4，有
   故

[解析] 判断函数的单调性是此题的基础．

设
   所以
   f"(x)=g'(x)=ln(1+x²)．

[解析] 熟练掌握积分与微分的关系和计算方法．

把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分．为此作如下变形：
   
   不难看出，其中的和式是函数在区间[0，1]上的一个积分和(这里所取的是等分分割，
   所以

[解析] 这类问题的解题思想是要把所求的极限转化为某个函数f(x)在某区间[a，b]上的积分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算的值．