一、单项选择题1. 已知空间内两直线
若l
1//l
2，则______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[解析] 由题意知直线l
1，l
2的方向向量分别为s
1=(m，2，-1)，s
2=(4，3，-n)，因为l
1//l
2，所以
解得
11. 如图所示，一小船在离岸边12米处由岸上拉索拉靠岸．已知岸高5米，当拉索向前进了5米时，小船向前行驶了______米．
A．
B．7
C．
D．5
A B C D
C
[解析] 设小船在A地时，距离岸边B为12米，岸高BC=5米，所以拉索
米；当拉索向前进了5米时，小船行驶到D地，此时CD=13-5=8米，所以
米，则小船前进了
16. 如图所示，
下列说法正确的是______．
①∠1+∠2=∠5；
②∠3=45°，∠5=75°；
③2∠4=∠2；
④∠5=∠2+∠3．
A B C D
B
[解析] 依题意可知∠1:∠2:∠3:∠4:∠5=1:2:5:1:3，所以
∠2=2∠1=60°，∠3=5∠1=150°，∠5=3∠1=90°．因此①③正确，②④错误，故本题选B．
18. 已知⊙O
1和⊙O
2外切于点M，其面积之比为9:25．延长⊙O
1的弦AM交⊙O
2于B，已知O
1不在弦MA上，则______．
- A.5MA=3MB
- B.25MA=9MB
- C.3MA=5MB
- D.9MA=25MB
A B C D
A
[解析] 如图，连接O
1O
2，并将其延长，分别交⊙O
1和⊙O
2于C和D，易知MC和MD分别是⊙O
1和⊙O
2的直径．连接AC、BD，易证Rt△AMC∽Rt△BMD，所以
又因为S
⊙O1：S
⊙O2=9:25，故r
1:r
2=3:5，即
，所以
二、填空题1. 已知数列{a
n}为a
1=1且公差不为0的等差数列，向量p=(a
1，a
2，a
3)，q=(a
2，a
6，a
10)．若p//q，则a
n的通项公式是______．
an=3n-2
[解析] 根据题意可设数列{a
n}的通项公式为a
n=1+(n-1)d．因为p//q，所以
，即
解得d=3或0(舍去)．因此a
n=3n-2．
2. 已知
则a与b的夹角为______．
[解析] |a-b|
2=(a-b)
2=a
2-2a·b+b
2=1-2a·b+4=3，所以a·b=1，故
所以a与b的夹角为
3. 已知向量a=(3，4，5)，则与a平行的单位向量n=______．
[解析]
所以与向量a平行的单位向量为
4. 已知空间中三个向量a=(2，1，-1)，b=(-1，3，2)，c=(2，-2，1)，则(a×b)·c=______．
23
[解析] (a×b)·c=(1×2-(-1)×3，(-1)×(-1)-2×2，2×3-1×(-1))·(2，-2，1)=(5，-3，7)·(2，-2，1)=23．
5. 若向量m，n的夹角为60°，
则(m+2n)(m-n)=______．
[解析]
6. 已知空间两直线
和
则直线l
1，l
2的夹角的余弦值是______．
[解析] 依题意可知直线l
1，l
2的方向向量分别是
所以直线l
1，l
2的夹角的余弦值
又因为两直线的夹角范围为
所以直线l
1与l
2夹角的余弦值为
7. 已知a⊥b，|a|=2，|b|=4，则|a+b|______|a-b|．(填“＞”“＜”或“=”)
=
[解析] 依题意知a·b=0，所以
所以|a+b|=|a-b|．
8. 已知向量a=2i+3j-k，b=-i+2j-2k，c=2ma-3nb，若c⊥x轴，则m=______．(用n表示)
[解析] 依题意有c=2m(2i+3j-k)-3n(-i+2j-2k)=(4m+3n)i+(6m-6n)j-(2m-6n)k，取x轴单位方向向量e=(1，0，0)，因为c⊥x轴，所以c⊥e，即c·e=(4m+3n，6m-6n，-2m+6n)·(1，0，0)=4m+3n=0，所以
9. 平行四边形、菱形、正方形、长方形均为对称图形，其分别有______条、______条、______条、______条对称轴．
0 2 4 2
[解析] 平行四边形是中心对称图形，没有对称轴；菱形、正方形、长方形既是中心对称图形又是轴对称图形，其中菱形的两条对角线是其对称轴，长方形的长和宽对折的两条折痕即为其对称轴，正方形的两条对角线和对边对折的两条折痕共四条对称轴．
10. 四边形ABCD是如图所示扇形中的矩形，当矩形面积最大时，阴影部分的面积为______．
[解析] 连接DB，设∠BDC=θ，则DB=r，BC=rsinθ，DC=rcosθ，S
矩形=DC·BC=r
2·sinθcosθ=
因为
则2θ∈(0，π)，当
时，sin2θ=1，取最大值．此时
矩形为正方形．此时
所以
11. 已知⊙O，⊙P的半径分别为6和8，两圆心距离为d．当两圆相交时，d的取值范围是______；当两圆相切时，d的取值是______；当两圆相离时，d的取值范围是______．
2＜d＜14；2或14；0＜d＜2或d＞14
[解析] 当d=6+8=14时，两圆外切，当d=8-6=2时，两圆内切；当2＜d＜14时，两圆相交；相离有两种情况—内含与外离，当0＜d＜2时，两圆内含，当d＞14时，两圆外离．
12. 已知等腰梯形ABCD，其下底AB=6，AD=DC，∠A=60°，则该梯形的面积为______．
[解析] 如图，作DE⊥AB于点E，由题意知AE=AD·cos60°，DE=AD·sin60°，AD=DC，所以AB=2AE+DC=2ADcos60°+DC=2DC=6，故
所以
13. AB、AC是⊙O的两条相互垂直的弦，D、E分别是它们的中点，且OD=OE，则AB______AC．(填“＜”“＞”或“=”)
=
[解析] 如图所示，B、C连线过圆心O，因为D、E分别是AB、AC的中点，且AB⊥AC，所以OD⊥AB，OE⊥AC．又因为OD=OE，所以四边形ODAE是正方形，故有AC=2AE=2AD=AB．
14. 如图所示，已知AC//BE，∠B=27°，∠ACF=87°，则∠ADC=______．
60°
[解析] 因为AC//BE，所以∠A=∠B=27°．由三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和可知，∠ACF=∠A+∠ADC=87°，所以∠ADC=87°-27°=60°．
15. 如图所示，C、D是半圆上两个点，
垂足为E，与BD交于F，已知
则⊙O的直径为______．
6
[解析] 如图所示，连接OC、OD，设⊙O的半径为r，因为
所以∠COB=∠DOA=60°，∠ABD=30°，因为CE⊥AB，OB=OC=r，所以
所以
故r=3，直径d=2r=6．
三、解答题已知空间向量a=(3，0，-4)，b=(2，-3，1)，求：1. a·b，a×b；
a·b=(3，0，-4)·(2，-3，1)=3×2+0×(-3)+(-4)×1=2；
2. (2a)·(-b)，(-a)×(2b)；
(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×2=-4；
(a)×(2b)=-2(a×b)=-2(-12i-11j-9k)=24i+22j+18k．
3. 向量a，b所成角的正弦值．
因为
所以
a与b的夹角在[0，π]的范围内，
所以0≤sin〈a，b〉≤1．
所以
4. 过点M(-2，3，1)且与A，B，C三点所在平面平行的平面β；
设A，B，C三点所在的平面α的法向量为n=(x'，y'，z')．
依题意知
所以
即
令z=4，代入上述方程组，解得
所以平面α的一个法向量为
因为α//β，
所以n也是平面β的法向量，即β⊥n，
又因为平面β过点(-2，3，1)，
所以平面β的方程为
整理可得平面β的方程为31x+12y+16z+10=0．
5. 向量
的模；
6. 点A到BC的距离．(结果用根号表示即可)
依题意可设
为其所在直线l的方向向量，且直线过C(-1，-3，1)，
所以l的直线方程为：
所以A到BC的距离
7. 直径所对应的圆周角是直角；
如图所示，BC为⊙O的直径，A为圆上不同于B、C的一点．
如图可知，
因为
所以
即∠BAC=90°．
8. 平面上对角线互相平分的四边形是平行四边形．
如图所示，ABCD为四边形，O分别为AC、BD的中点．
由图可知，
因为对角线相互平分，
所以
所以
所以该四边形是平行四边形．
9. 证明：(a-b)⊥c；
因为a、b、c为单位向量，
所以|a|=|b|=|c|=1．
设a与b之间的夹角为θ，
由题干得a+b=-c，即(a+b)
2=c
2．
化简为|a|
2+2|a||b|cosθ+|b|
2=|c|
2．
代入得
因为θ∈[0，π]，所以
同理可求得a与c、b与c的夹角均为
所以(a-b)·c=a·c-b·c
=1×1×cos120°-1×1×cos120°
=0．
即(a-b)⊥c．
10. 若|a-b+kc|＞2(k∈R)，求k的取值范围．
因为|a-b+kc|＞2，
所以|a-b+kc|
2＞4，即a
2+b
2+k
2c
2-2a·b+2ka·c-2kb·c＞4，
因为
所以
即k
2-1＞0，解得k＜-1或k＞1．
故k的取值范围是(-∞，-1)∪(1，+∞)．
11. 证明：AC=DB；
如图所示，
因为梯形是等腰梯形，
所以∠DCB=∠ABC，AB=DC，
所以△DCB≌△ABC，
因此AC=DB．
12. 若AD=2，AB=5，BC=8，求△OBC的面积．
作AG⊥BC交BC于G，过O作EF⊥BC分别交AD、BC于E、F．
因为梯形ABCD为等腰梯形，
所以
所以
∠AOD与∠COB是对顶角，所以∠AOD=∠COB，
所以△AOD∽△COB．
因为OE、OF分别是△AOD和△COB的高，
又因为AG=OE+OF=4，
所以
13. 小明晚上下班回家，在其正前方不远处有一6米高的路灯，此时小明身后影子长2.4米；当小明继续向前走2.45米时，小明身后的影子缩短了1.05米．问：小明身高多少?
依题意作图，
其中，AD=2.4，AB=2.45，BE=AD-1.05=1.35，CO=6．
由图可知△CDO∽△FDA，△CEO∽△GEB，
因为
又因为AF=BG，即
解得AF=1.8，BO=3.15．
所以小明身高1.8米．
14. 证明：点O是AC的中点；
证明：因为△AOE是△ABE折叠后的图形，所以△AOE≌△ABE．
因为∠B为直角，所以∠AOE也为直角，因此∠AOE=∠COE=90°．
∠OCE=90°-60°=30°=∠OAE，所以△OCE≌△OAE，则AO=CO，
所以O是AC的中点．
15. 求四边形ABEO外接圆的面积．
因为∠AOE=∠ABE=90°，
根据直径对应的圆周角为直角可知，AE即为四边形ABEO外接圆的直径．
因为
所以外接圆的面积
=______．
，所以
又因为∠BAC是平行四边形的内角，所以
，所以m+8n-3mn=0．
，则“l1⊥l2”是“m=-n=-2”的______．
=______．
因为
所以
分别以AD和CD为底作平行四边形的高h1、h2，则______
，因为
所以
过E作EI⊥BC交BC于I，过A作AG⊥BC交BC于G，交DE于H，易知AH⊥ED，△AEH∽△EBI，因为BE=2EA，所以EI=2AH，又因为
．即
深色：已答题 浅色：未答题