一、单项选择题2. 同底的三棱锥和三棱柱的体积比为2:1，则它们的高之比为______．
A B C D
C
[解析]
已知V
锥:V
柱=2:1，S
底相等，因此h
锥:h
柱=b:1．
3. 如图所示，一只蚂蚁在底面半径为1cm，高为
的圆锥侧面运动，自A点出发运动一圈后又回到A点的最短距离为______．
A．2π
B．2
C．
D．3
A B C D
C
[解析] 沿PA将圆锥展开，如图所示，A点到A'点的最短距离为AA'．半径为1cm，高为
则母线长为3cm，
所以
6. P—ABC为正三棱锥，其高是底面边长的
倍，则底面面积与△PMC面积的比值为______．
A．
B．
C．1:3
D．
A B C D
D
[解析] 设底面边长为a，M为AB中点，根据正三角形性质可知，
因为高OP是底面边长的
倍，即
所以
7. 一个带盖的长方体容器，底面是边长为10cm的正方形，高为11cm，最多可放入______个半径为1cm的圆球．(要求盖子正好盖住容器，厚度忽略不计)
A B C D
D
[解析] 根据题意要尽可能多地往容器中放球，有两种摆放方式，一种如图a所示，一层可以放
层，恰好能盖住盖子，这时可放入125个；一种如图b所示，第一层有25个，第二层有(5-1)×(5-1)=16个，第三层有25个，第四层有16个……以此类推，O
1O
2O
3为边长为2cm的等边三角形，高为
两层球时的高度为
三层时高度为
四层时高度为
五层时高度为
六层时高度为
七层时高度为
所以只放能六层，此时若第六层放25个球，总高度为
故这时可放入25+16+25+16+25+25=132个．所以第二种情况放入的球多，最多能放入132个．
8. 在长方体ABCD—A
1B
1C
1D
1内，点P是面ABB
1A
1上的动点，且点P到直线BC的距离等于点P到直线AA
1的距离．已知AA
1=BC=2，AB=3，则P点在面ABB
1A
1上的轨迹为______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 在长方体ABCD—A
1B
1C
1D
1中，因为BC⊥面ABB
1A
1，所以点P到BC的距离即为点P到点B的距离，动点到定点与定直线的距离相等，符合抛物线的性质，以AB的中点为原点，AB为x轴，如图所示，
P点的轨迹在y
2=6x(y≥0)上，当y=2时，
所以轨迹应为B项．
9. 如图所示的四面体A—BCD，AD⊥面BCD，BD⊥CD，BD=1，CD=2，AD=2，则该四面体的内切球的半径为______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[解析] 四面体内切球半径r即内切球的圆心O到面的距离，利用体积法得V
A—BCD=V
O—ABC+V
O—ACD+V
O—ABD+V
O—BCD，根据已知得
故
10. 在三棱柱ABC—A
1B
1C
1中，D、E、F分别是A
1C
1、BB
1、CC
1的中点，则与面ABB
1A
1平行且在面DEF内的直线有______．
A B C D
D
[解析] 作距面ABB
1A
1距离为d的平行面α，因为面ABB
1A
1与面DEF相交，所以α与面DEF相交，交线为l，又因为α∥面ABB
1A
1，
所以l∥面ABB
1A
1且
α有无数种可能，所以在面DEF中，有无数条直线与l平行，所以答案选D．
11. 若直线l
1：(a-1)y+(a+1)x=3与直线l
2：3ay=ax+1互相垂直，则a的值为______．
A B C D
C
[解析] 由题，直线l
1与直线l
2互相垂直，因此a≠-1，直线l
1的斜率为
，直线l
2的斜率为
，因为两条直线相互垂直时，斜率的乘积为-1，所以
解得a=2．
12. 下列命题中，正确的一项是______．
A．已知点A(x
1，y
1)，点B(x
2，y
2)，则过这两点的直线的斜率
B．已知直线方程为y-y
1=k(x-x
1)，则此直线斜率为k，且过点(-x
1，-y
1)
C．已知直线方程为
则直线与x轴、y轴的截距分别为a、b
D．与直线Ax+By+C=0平行的直线可表示为Ax+By+C
1=0
A B C D
D
[解析] 选项A中，若x
1=x
2，则直线的斜率不存在，因此不能用
表示斜率；选项B中，直线经过的点应为(x
1，y
1)，因为k值不确定，所以(-x
1，-y
1)不一定在直线上；选项C中，直线方程可化为
与x轴、y轴的截距分别为a、-b；选项D表述正确．
13. 过点A(1，-2)和B(3，0)且圆心在直线
上的圆的方程是______．
- A.(x-3)2+y2=8
- B.(x-3)2+(y+2)2=4
- C.(x-3)2+(y+2)2=8
- D.(x-3)2+(y-2)2=4
A B C D
B
[解析] 设这个圆的圆心坐标为(a，b)，则点A、B到圆心的距离相等，且圆心在直线
上，故有
化简得
解得
则圆心坐标为(3，-2)，半径
圆的方程为(x-3)
2+(y+2)
2=4，故应选择B．
14. 若方程
表示的方程是圆，则k的取值范围为______．
- A.k＞-1或k＜-8
- B.k＞-1
- C.-8＜k＜-1
- D.k＜-8
A B C D
A
[解析] 圆的一般方程为x
2+y
2+Dx+Ey+F=0，需满足条件D
2+E
2-4F＞0，结合题干方程即为
化简为k
2+9k+8＞0，解得k＞-1或k＜-8．
16. 已知椭圆的方程为3x
2+k
2y
2=15k
2，且其焦点在y轴上，那么k的取值范围是______．
A．
B．-1＜k＜1
C．
D．
A B C D
D
[解析] 由题，椭圆方程可化简为
因为焦点在y轴上，所以5k
2＜15，解得
17. 若双曲线
的渐近线与抛物线
相切，则双曲线的离心率为______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[解析] 双曲线
的渐近线方程为
因为渐近线方程和抛物线方程都关于y轴对称，则选择其中一条进行讨论．联立方程
则可得
因为抛物线与双曲线的渐近线相切，则此方程只有一个解，即
解得
所以c
2=a
2+b
2=7a
2，故离心率
18. 设椭圆的两个焦点分别为F
1、F
2，若椭圆上有一点P，△F
1PF
2为等边三角形，则椭圆的离心率为______．
A．
B．
C．1
D．
A B C D
A
[解析] 已知△F
1PF
2为等边三角形，则PF
1=PF
2，故点P在线段F
1F
2的垂直平分线上，即点P为椭圆短轴的端点，故
椭圆的离心率
19. 已知二元一次方程3x
2-7x+2=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率e
1、e
2，则3(e
2-e
1)=______．
A．
B．5
C．7
D．
A B C D
B
[解析] 求解3x
2-7x+2=0的两根为
因为椭圆的离心率0＜e
1＜1，双曲线的离心率e
2＞1，故
20. 在空间直角坐标系内有三点A、B、C，其中C为AB连线上的一点，O为原点，已知A点坐标为(x
1，y
1，z
1)，B点坐标为(x
2，y
2，z
2)，若
则C点坐标为______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析] 根据空间向量的定比分点公式，有
已知λ=2，A(x
1，y
1，z
1)，B(x
2，y
2，z
2)，则
化简可得，C点坐标为
二、填空题1. 下列观点正确的是______．
①若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的所有直线；
②a是平面α外的一条直线，若a平行于平面α内的直线b，则a∥α；
③若a∥α，b∥α，则a//b；
④若平面α内有两条直线分别平行于平面β，则α∥β；
⑤直线a、b分别垂直于平面α，则a∥b．
②⑤
[解析] 直线a与平面α平行，α内存在无数的直线与a平行，但不是全部，①错；平行于同一平面的两条直线位置关系有三种情况——平行、异面、相交，③错；如果平面α内的两条直线a、b相互平行且平行于平面β，则α、β有可能相交，④错．
2. 如图所示，A、B两点在面α上，且AB∥l，已知A点到l的距离为2，AB=2．现以l为轴，将A点旋转120°后得到A'点，则A'B=______．
4
[解析] 根据要求作图，过A点作AO⊥l，连接A'O、BO、A'B，∠AOA'=120°，A'O=AO=2，A'O⊥l，所以l⊥面AOA'．又因为AB∥l，所以AB⊥面AOA'，所以AB上AA'．AA'
2=OA
2+OA'
2-2×OA×OA'cos120°=12，
3. 分别以Rt△ABC的两条直角边为轴，旋转360°后，得到两种圆锥，体积比为4:1，则它们的侧面积比为______．
4:1
[解析] 设Rt△ABC的两直角边长分别为a、b，根据题意旋转后得到的圆锥体积分别为
两圆锥体母线长均为
因为
则a:b=4:1．两圆锥的侧面积S
侧1=πal，S
侧2=πbl．所以侧面积的比为a:b=4:1．
4. 某正八棱柱的三视图如图所示，则它的体积为______．
[解析] 该正八棱柱可以看成长方体切去四个直三棱柱．根据题意可知，底边正八边形的边长为1cm，正八棱柱的高为2cm，则可求得底面正方形的边长为
体积为
一个直三棱柱的体积为
则正八棱柱的体积为
5. 如图所示的直三棱柱，AB⊥BC，MA=MA
1=AB=BC=1，则面MBC
1与底面ABC的夹角的正切值为______．
[解析] 延长C
1M与CA，交于N点，连接BN，则BN即为面MBC
1与底面ABC的的交线．过A点作AD⊥DN，连接MD．因为三棱柱为直三棱柱，所以MA⊥面ABC，又
所以MA⊥BN，又MA∩AD=A，所以BN⊥面MDA，即BN⊥MD，所以∠MDA即面ABC与面MBC
1的二面角，根据余弦定理求得．
因为
所以
因为AB=BC=1，BC⊥AB，所以
在
即
求得
以两平面夹角的正切值
6. 已知平面直角坐标系中有点A(2，1)，过A点且与两坐标轴都相切的圆的方程为______．
(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(x-5)2=25
[解析] 已知圆经过点A(2，1)，且与两坐标轴相切，则可知此圆一定在第一象限，圆心到两坐标轴的距离均为其半径长．设其半径为r，则圆的方程为(x-r)2+(y-r)2=r2．将点A的坐标代入，可得(2-r)2+(1-r)2=r2，化简可得r2-6r+5=0，解得r=1或5．故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(x-5)2=25．
7. 半径分别为5、2的两个圆外切，则外公切线的长度是______．
[解析] 已知半径分别为r
1、r
2的两圆，其外公切线的长度的平方等于圆心距的平方与半径差的平方之差．题干中两圆外切，则圆心距为两圆半径之和，所以外公切线的长度为
8. 已知直线l
1上有点A(2，1)和点B(4，n)，直线l
2的方程为y=4x+3，若直线l
1和直线l
2垂直，则n=______．
[解析] 两直线垂直，则它们的斜率之积为-1，已知直线l
2的斜率为4，直线l
1过A、B两点，故
解得
9. 已知椭圆的中心在原点上，焦点在x轴上，且已知长轴长为
离心率为
则这个椭圆的方程为______．
[解析] 已知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为
已知
a
2=27，
故
解得
故椭圆的方程是
10. 已知过两直线l
1：2x-3y+3=0和
交点的直线系方程为：4x-2y+1=0，则A+B=______．
0
[解析] 依据题意可知，过两直线的交点的直线系方程为：(A
1x+B
1y+C
1)+λ(A
2x+B
2y+C
2)=0，整理得(A
1+λA
2)x+(B
1+λB
2)y+(C
1+λC
2)=0．因为
所以
解得λ=2，所以2+2A=4，解得A=1，3+2B=1，解得B=-1，所以A+B=0．
三、解答题1. 已知四棱锥P—ABCD底面为梯形，PD⊥底面ABCD，CD//AB，AD⊥AB，AB=2PD=2CD=AD=2．求二面角P—BC—D的正切值．
延长BC，过D作DE垂直于BC并交于E点，∠PED即为所求二面角．
取AB中点F，连接CF．
因为AF//CD且AF=CD=1，所以AD//CF且AD=CF=2．
又因为AD⊥AB，所以CF⊥AB，由此求得
在△DEC和△CFB中，
因为∠DEC=∠CFB=90°，∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠BCF=90°
所以∠CDE=∠BCF，
所以△DEC∽△CFB．
即二面角P—BC—D的正切值为
高为R的空心无盖圆柱形容器上．(容器的厚度忽略不计)．
求：2. 球的顶端到容器底面的距离L；
如图所示，沿圆柱的轴作切面，
则在Rt△OBA中，
所以球的顶端到容器底面的距离
3. 向容器内注水，当水面刚好与球面相切时，水的体积．
由图可知，水面与球面相切时的高度为H，则
因此水面刚好与球面相切时，水的体积为
的等边三角形，E为PC中点，F在PB上，G在PD上，且
4. 证明：点A、E、F、G在同一平面；
连接AC、BD、AE、FG，AC∩BD=0，
以O为原点，AC为x轴，BD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AE∩OP=M，FG∩OP=N．
在正四棱锥P—ABCD中，
因为侧面是面积为
的等边三角形，设边长为a，
即
所以
则各点的坐标为：
又因为，
所以
因为
所以M的坐标为
即点M和点N重合，所以AE与GF交于一点．
又因为经过两条相交直线有且只有一个平面，
所以AE与GF在平面AFEG内，即点A、E、F、G在同一平面．
5. 求平面AFEG与底面夹角的余弦值．
AE∩GF=M，平面AFEG与底面的交线为l，
因为
所以FG//l//BD．
在正四棱锥P—ABCD中，
因为
所以OP⊥AC，
又因为
所以BD⊥面PAC，推出BD⊥AE，
则AE⊥l，AC⊥l，AE∩AC=A，
因此∠EAC即为所求二面角，
即平面AFEG与底面夹角的余弦值为
沿对角线BD将梯形ABCD折叠成如图(b)所示的四面体．当△ABD的面积是△CBD在底面投影面积的2倍时，
求：6. 二面角A—BD—C的余弦值；
如图所示，C点在底面的投影为O，E、F为AB、AD的中点，过O作OM⊥BD，连接CM，则∠CMO即为所求二面角，
△OBD即是△CBD在底面的投影，△ABD与△CBD同底．
因为S
△ABD=2S
△OBD，
所以O在EF的延长线上，则
又因为
所以
所以
即二面角A—BD—C的余弦值为
7. AC的长度．
因为OC⊥底面ABC，△COA为直角三角形，
根据(1)可知
过A作AP⊥BD交EF于Q，
又因为
所以
则
8. 判断表面积相同的正方体和长方体的体积大小关系，并证明．
当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积．
设长方体的三边分别为a、b、c，正方体的边长为l，
因为表面积相同，所以2ab+2ac+2bc=6l
2，即ab+ac+bc=3l
2．
根据均值定理可知
当且仅当a=b=c时取等号，
即
又因为V
正=l
3，V
长=abc，所以l
3≥abc，即V
正≥V
长，
当且仅当a=b=c时取等号，此时长方体即为正方体，所以不能取等号．
所以当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积．
9. 已知⊙C与直线y-2x-2=0和直线y-2x+4=0都相切，且圆心在直线
上，则求⊙C的方程．
由图⊙C与两直线均相切，且从方程式可知，这两条直线平行．又因为直线y-2x-2=0与直线
的斜率的乘积为-1，故这两条直线垂直，即圆心所在直线与圆的两条切线均垂直，由此可知，两切线所截得的部分即为圆的直径，图象如下：
故AB为圆的直径，联立方程
解得点A的坐标为
同理，联立
解得点B的坐标为
点C为A、B的中点，则其坐标为
故⊙C的方程为
10. 已知直线y=k(x-3)(k＜0)与抛物线y
2=-12x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，求直线的方程．
由题意k＜0可知直线与抛物线的交点在第二象限．
因为抛物线的方程为y
2=-12x，
则焦点为(-3，0)，准线方程为x=3．
如图所示，设B点横坐标为m(m＜0)，A点横坐标为n(n＜0)，则B点纵坐标为k(m-3)．抛物线上一点到焦点的距离等于这点到准线的距离，且|FA|=2|FB|，
则有3-n=2(3-m)，即n=2m-3，所以A点横坐标为2m-3，纵坐标为2k(m-3)，故有
解得
将m的值代入方程组中，
解得
已知k＜0，所以
所以直线的方程为
11. 求过点A(2，2，-3)且通过直线
的平面方程．
因为直线的方程为
则直线的方向向量为s=(4，-2，1)，直线必定经过点，B(-3，0，2)，则
在直线上选择一点C(1，-2，3)，则
设平面的一个法向量为n
0=(m，n，p)，则
将坐标代入可得：
令p=18，则平面的一个法向量为(8，25，18)，由此可得，平面的点法式方程为
8(x-2)+25(y-2)+18(z+3)=0，即为8x+25y+18z-18=0．
12. 已知x、y满足约束条件
若z=y-x，求z的最大值．
标记三条直线分别为
根据所给的不等式组可画出图形(如图)，则阴影部分为符合条件的x、y的取值范围．
已知z=y-x，可化为y=x+z，z为直线y=x+z在y轴的截距．直线y=x+z斜率为正，则使z最大的点在阴影部分的最高点，即为直线l和直线n的交点q．联立直线l和直线n的方程可得：
，解得
，此时
即z的最大值为
13. 在平面直角坐标系中，一椭圆以原点为中心，且短轴长为4，右焦点坐标为
若有一经过原点的直线，与x轴正方向的夹角为45°，这条直线与椭圆交于两点，求两点到y轴的距离之和．
已知椭圆
所以椭圆的方程为
因为直线与x轴正方向的夹角为45°，
所以直线斜率k=tan45°=1，
又因为直线经过原点，故直线方程为：y=x．
由题意可知，联立方程：
所以这两点到y轴的距离之和为
设未知直线方程为：
代入点(2，3)，解得b=4，化简得直线方程为x+2y-8=0．
深色：已答题 浅色：未答题