一、单项选择题5. 与矩阵

合同的矩阵是______.
A.

B.

C.

D.

A B C D
B
[解析] 矩阵A的特征多项式为:

所以矩阵A的特征值为-1,-3,2.即二次型的正惯性指数p=1,负惯性指数q=2.所以与矩阵A合同的矩阵中有一个正数,两个负数.
6. 已知二次型

的秩为2,则a的值为______.
A.

B.-1
C.2
D.-7
A B C D
A
[解析] 二次型矩阵

.二次型的秩为2,即矩阵的秩为2,所以

7. 设

,则B=______.
- A.AP1P3
- B.AP2P3
- C.AP1P2
- D.AP3P1
A B C D
B
[解析] 将矩阵A的第1列加至第2列,然后将1,3两列互换可得到矩阵

表示将矩阵A的第1列加至第2列,即

表示将矩阵AP
2中1,3两列互换,即AP
2P
3.故本题选B.
8. 计算

=______.
A.

B.

C.

D.

A B C D
D
[解析]

则

13. 设矩阵

,则|4A
-1|=______.
A.

B.2
C.8
D.32
A B C D
C
[解析]

又因为|A|=8,所以|4A
-1|=8.
19. 如果AB=BA,矩阵B就称为A的可交换矩阵.设矩阵

,则下列矩阵中与A可交换的矩阵B为______.
A.

B.

C.

D.

A B C D
D
[解析] 将A项中的矩阵代入,

,AB≠BA.将B项中的矩阵代入,

,AB≠BA.将C项中的矩阵代入,

,AB≠BA.将D项中的矩阵代入,

二、填空题1.

[解析]

2. 设

在x=0处连续,则常数a=______.
[解析] f(x)在x=0连续

.由于

因此当

时,f(x)在x=0处连续.
3. 若函数f(x)=2ax
2+bx在x=-1处取得极值4,则a=______,b=______.
-2 -8
[解析] 由已知得,f'(x)=4ax+b,故f'(-1)=-4a+b=0,又因为f(-1)=2a-b=4,所以a=-2,b=-8.
4. 设f(x)是连续函数,且有

又因为F(x)是f(x)的原函数,且满足F(0)=0,则F(x)=______.
-cosx+1
[解析] 先将

两边求导得

则f(x)=sinx,又因为F(0)=0,则

5. 设D是由曲线

与x轴、y轴围成的区域,则

[解析] 先对x积分,则区域

6. 已知

若|λE-A|=0,则λ=______.
0或3
[解析] 先把第2列加至第3列,再把第3行的-1倍加至第2行,然后按第3列展开,即

,所以λ=0(二重根)或λ=3.
7. 设A为n阶矩阵,|A|=3,则|2A*|=______.
[解析]

8. 已知行列式

,则λ=______.
-1或±2
[解析] 将行列式第3列加至第1列,再把第1行的-1倍加至第3行,然后按第3行展开如下:

,所以λ=-1或λ=±2.
9. 若

,则|A|=______.
0
[解析]

,由A中各行元素成比例可知|A|=0.
10. 已知α
1,α
2,α
3,β,γ都是四维列向量,且|β+γ,α
3,α
2,α
1|=a,|β,α
1,α
2,α
3|=b,则|4γ,α
1,α
2,α
3|=______.
-4(a+b)
[解析] |β+γ,α3,α2,α1|=|β,α3,α2,α1|+|γ,α3,α2,α1|=a,|β,α1,α2,α3|=b,又因为|γ,α3,α2,α1|=-|γ,α1,α2,α3|,|β,α3,α2,α1|=-|β,α1,α2,α3|-b,所以a=-|β,α1,α2,α3|-|γ,α1,α2,α3|,|γ,α1,α2,α3|=-a-b=-(a+b),所以|4γ,α1,α2,α3|=-4(a+b).
11. 设三阶矩阵A的特征值为-1、2、3,E为三阶单位矩阵,则|E-6A
-1|=______.
14
[解析] 由已知条件,A
-1特征值为

进而E-6A
-1的特征值为7、-2、-1,所以|E-6A
-1|=7×(-2)×(-1)=14.
12. 已知A=BP,其中

,则A
2012=______.
E
[解析]

13. 已知

,则矩阵A=______.
14. 设矩阵

不可逆,则x=______.
-3或2
[解析]

,x=-3或x=2.
15. 已知向量组α
1=(1,O,5,2)
T,α
2=(3,-2,3,-4)
T,α
3=(-1,1,a,3)
T,向量组的秩为2,则a=______.
1
[解析] 对(α
1,α
2,α
3)作初等变换,有

16.

的值为______.
-5
[解析]

17. 函数

非零的零点是______.
[解析]

,故其非零的零点为

18. 设

,则2A
1000-A
1001=______.
0
[解析]

,所以(A-2E)A
1000=0,即2A
1000-A
1001=0.
19. 若矩阵

的代数余子式A
12=-9,则代数余子式A
13=______.
6
[解析] 因为

20. 设α=(2,1,3)
T,β=(1,0,2)
T,A=αβ
T,则A
2=______.
[解析]

三、解答题1. 求不定积分

3. 确定常数a、b、c的值,使

因为x→0时,bsinx-x→0,且极限值c不为零,
所以当x→0时,

故必有a=0,而

故必有b=1,c=-2.
故当a=0,b=1,c=-2时,原等式成立.
4. 若f(x)是可导函数,f(x)>0,f(0)=0,且

求f(x).
对

两边求导可得,

所以

又因为f(0)=0,代入上式得C=0,
所以

5. 求幂级数

的收敛半径和收敛域.
因为

所以收敛半径

当x-1=-3,即x=-2时,原级数为交错级数

此级数收敛;
当x-1=3,即x=4时,原级数为

此级数发散,
于是原级数收敛域为[-2,4).
6. 计算

7. 已知

,若A
2=lA,则求l.
因为A中任两行、任两列都成比例,
故可把A分解成两个矩阵相乘,即

,则由矩阵的乘法结合律可知:

所以

8. 已知

,求λ的值.

所以λ值为8、10、-5.
9. 求

的逆矩阵.
10. 求

的值.
11. 求矩阵

的特征值及对应的特征向量.
矩阵M的特征多项式为

令f(λ)=0,得到M的特征值为λ
1=5,λ
2=-1.
当λ
1=5时,联立得

解得x-y=0,故矩阵M的一个特征向量为

当λ
2=-1时,联立得

解得2x+y=0,故矩阵M的一个特征向量为
