一、填空题1. 设n阶矩阵
，则|A|=______．
(n-1)(-1)n-1
[解]
2.
0
[解]
3. 设A，B均为n阶方阵，|A|=2，|B|=-3，则|A
-1B
*-A
*B
-1|=______．
[解] A
*=|A|A
-1=2A
-1，B
*=|B|B
-1=-3B
-1，则
4. 设三阶方阵A=[A
1，A
2，A
3]，其中A
i(i=1，2，3)为三维列向量，且A的行列式|A|=-2，则行列式|-A
1～2A
2，2A
2+3A
3，-3A
3+2A
1|=______．
12
[解] 由
得
5. 设A是三阶方阵，且|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0，则|2A
*-3E|=______．
126
[解] 由|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0得
矩阵A的特征值为
|A|=3，A
*的特征值为
2A
*-3E的特征值为3，-6，-7，故|2A
*-3E|=126.
6. 设A为四阶可逆方阵，将A第3列乘3倍再与第1列交换位置，得到矩阵B，则B
-1A=______.
[解] 由
得
7. 设A为4×3矩阵，且r(A)=2，而
，则r(AB)=______．
2
[解] 因为
，所以B可逆，
于是r(AB)=r(A)=2.
8. 向量组α
1=[0，4，2-k]，α
2=[2，3-k，1]，α
3=[1-k，2，3]线性相关，则实数k=______.
6
[解] 由
得k=6.
9. 设三阶矩阵
，三维列向量α=(a，1，1)
T．已知Aα与α线性相关，则a=______.
-1
[解] 因为Aα与α线性相关，所以Aα与α成比例，
令Aα=kα，即
10. 设向量组
线性无关，则a，b，c必满足关系式______．
abc≠0
[解] 由
得a，b，c满足的关系式为abc≠0.
11. 若线性方程组
有解，则常数a
1，a
2，a
3，a
4应满足条件______．
a4-a1+a2-a3
[解]
则方程组有解应满足的条件为a
4-a
1+a
2-a
3=0.
12. 若矩阵
，B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=______．
1
[解] 由AB=O得r(A)+r(B)≤3，
因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，
又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2.
由
得t=1.
13. 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ，若行列式|2A|=-48，则λ=______．
-1
[解] |A|=6λ，由|2A|=8|A|=-48得|A|=-6，解得λ=-1.
14. 矩阵
的非零特征值是α
3．
4
[解] 由
得A的特征值为λ
1=λ
2=0，λ
3=4，非零特征值为4.
15. 已知
有三个线性无关的特征向量，则a=______．
-10
[解] 由
得λ
1=1，λ
2=λ
3=2，
因为A可对角化，所以r(2E-A)=1，
由
得a=-10.
16. 若
相似，则x=______，y=______．
x=-17，-12
[解] 设
由A与B相似得tr(A)=tr(B)，即x+22=5，解得x=-17；
由|A|=|B|得-374-31y=-2，解得y=-12.
17. 已知矩阵
只有两个线性无关的特征向量，则A的三个特征值是______，a=______.
λ1=λ2=λ3=2，a=-5
[解]
特征值为λ
1=λ
2=λ
3=2，
因为λ
1=λ
2=λ
3=2只有两个线性无关的特征向量，
所以r(2E-A)=1，
由
得a=-5.
二、选择题5. 设向量组(Ⅰ)：α
1，α
2，…，α
r可由向量组(Ⅱ)：β
1，β
2，…，β
s线性表示，则______.
- A.若α1，α2，…，αr线性无关，则r≤s
- B.若α1，α2，…，αr线性相关，则r≤s
- C.若β1，β2，…，βs线性无关，则r≤s
- D.若β1，β2，…，βs线性相关，则r≤s
A B C D
A
[解] 因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)，所以(Ⅰ)的秩≤(Ⅱ)的秩，
所以若α1，α2，…，αr线性无关，即(Ⅰ)的秩=r，则r≤(Ⅱ)的秩≤s，应选A．
7. 非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则______.
- A.r=m时，方程组AX=b有解
- B.r=n时，方程组AX=b有唯一解
- C.m=n时，方程组AX=b有唯一解
- D.r＜n时，方程组AX=b有无穷多解
A B C D
A
[解] r(
)≥r(A)，
当r=m时，r(
)≥r(A)=m；
又r(
)≤m，所以r(
)=r(A)=m，故AX=b有解，应选A．
11. 设矩阵A
m×n，r(A)=m＜n，E
m为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是______.
- A.A通过初等行变换必可化为[Em，0]的形式
- B.A的任意m阶子式不等于零
- C.A的任意m个列向量必线性无关
- D.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多解
A B C D
D
[解] 显然
因为
为m×(n+1)矩阵，所以
于是
故AX=b一定有无数个解，应选D．
13. 设
都是线性方程组AX=0的解向量，只要系数矩阵A为______.
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解] 因为α
1，α
2线性无关，所以AX=0的基础解系至少含两个线性无关的解向量，从而r(A)≤1，
再由题意得
，显然选C．
15. 下列矩阵中，不能相似对角化的是______.
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解]
的特征值为7，0，0，因为r(0E-A)=r(A)=2，所以λ=0对应的线性无关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选C.
，若齐次方程组AX=0的任一非零解均可用α线性表示，则a=______.
得a-5=-2，解得a=3，应选A．
，则______不是A的特征向量．
得
不是A的特征向量，应选A．
，则A与B______.
深色：已答题 浅色：未答题