D

[解析]
   则选D．

A

[解析] 由周期函数的平移性质，，再由对称区间积分性质得，
   又(e^sint-e^-sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选A．

C

[解析] 因为所以两无穷小同阶但非等价，选C．

C

[解析] 因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(0，2)内连续，选C．

D

[解析] 设
   选D．

B

[解析] 因为t[f(t)-f(-t)]为偶函数，所以为奇函数，A不对；因为f(t²)为偶函数，所以为奇函数，C不对；因为不确定f²(t)的奇偶性，所以D不对；令，
   选(B)．

A

[解析] 计算下列不定积分：
   曲线在点处的切线方程为，由于切线位于曲线的上方，所以由曲线，切线及x=1，x=3围成的面积为．
   
   当t∈(0，2)时，S'(t)＜0；当t∈(2，3)时，S'(t)＞0，则当t=2时，S(t)取最小值，此时切线方程为，选A．

解  ，
   两边求导数得f'(x)-2f(x)=e^x，
   则f(x)=(∫e^x·e^∫-2dxdx+C)e^-∫-2dx=Ce^2x-e^x，
   因为f(0)=1，所以C=2，故f(x)=2e^2x-e^x．

解  

解  因为(x²e^x)'=(x²+2x)e^x，
   所以

解  由得
   

解  两边积分得，解得，由F(0)=1，F(x)＞0，得于是

解  令lnx=t，则当t≤0时，f(t)=t+C₁；当t＞0时，f(t)=e'+C₂．
   显然f'(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C₁=1+C₂，故f(x)=

解  令，当0≤x≤1时，，当1＜x≤2时，，则

解  由
   得
   两边求导得

证明  对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T，
   因为f(x)≥0，所以
   即得
   
   注意到当x→+∞时，n→+∞，且
   由夹逼定理得

证明  令因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)=0，，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ'(ξ)=0，而，所以．

证明  
   同理．因为tanⁿx，tanⁿ⁺²x在上连续，tanⁿx≥tanⁿ⁺²x，且tanⁿx，tanⁿ⁺²x不恒等，所以即a_n＞a_n+2，
   于是即同理可证

证明  令φ(x)=e^xf(x)，则φ'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]，
   由|f(x)+f'(x)|≤1得|φ'(x)|≤e^x，又由f(x)有界得φ(-∞)=0，则
   ，两边取绝对值得
   ，所以|f(x)|≤1．