D

[解析]

B

C

A

A

[解析] 由题意可知，是线性方程组Ax=b的一个解，η₁-η₂是Ax=0的一个基础解系，故方程组Ax=b的通解为

-5

-1

[解析]

[解析] 因为β可由向量组α₁，α₂，α₃线性表出，故存在不全为0的k₁，k₂，k₃使得解
   

-1

-2

[解析] 因为向量α₁与α₂正交，所以α₁·α₂=(α₁，α₂)=4-1×0+2k=0，k=-2．

1

[解析] 若非齐次线性方程组有无穷多解，则则k=1．

0

[解析] ，则其标准形为，其规范形为．

解：
   

解：由于
   A₁₁=0，A₂₁=0，A₃₁=-1，
   A₁₂=0，A₂₂=-1，A₃₂=2，
   A₁₃=-1，A₂₃=2，A₃₃=-1，
   
   又，则A可逆，
   且

解：由题设可知，存在初等矩阵
   
   使得PA=B，BQ=E，即PAQ=E，
   所以A=P^-1EQ^-1=P^-1Q^-1
   

解：
   
   可知向量组的秩为3，α₁，α₂，₃α3为一个极大线性无关组，并且有
   α₄=-α₁+2α₂-2α₃，α₅=-α₁+α₂+α₃．
   (答案不唯一)

解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换
   
   得同解方程组
   从而方程组的通解为
   x=(1，3，-1，0)^T+k(2，-1，0，1)^T(k为任意常数)．

解：设λ₃为A的另一个特征值，α₃是A的属于特征值λ₃的特征向量．
   由于r(A)=2，故|A|=λ₁λ₂λ₃=0，
   而λ₁=-1，λ₂=1，因此λ₃=0．
   又A为3阶实对称矩阵，故α₃与α₁，α₂都正交，
   令α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，则口α₁^Tα₃=0，，即
   
   得基础解系(0，1，0)^T，
   所以A的属于特征值λ₃=0的全部特征向量为
   k(0，1，0)^T，k为非零常数．

解：二次型的矩阵
   由
   得A的特征值λ₁=2，λ₂2=0．
   对于λ₁=2，求解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得基础解系
   α₃=(-1，1)^T，
   单位化得
   对于λ₂=0，求解齐次线性方程组(-A)x=0，得基础解系
   α₁=(1，1)^T，
   单位化得
   令，则Q位正交矩阵，
   从而经正交变换
   将二次型化为标准形．

证明：由Aα₁=0，Aα₂=0，得
   Aβ₁=A(α₁+2α₂)=0，Aβ₂=A(2α₁+α₂)=0，
   可知β₁，β₂也是方程组Ax=0的解．
   设有常数k₁，k₂使得k₁β₁+k₂β₂=0，即
   k₁(α₁+2α₂)+k₂(2α₁+α₂)=0，
   整理为(k₁+2k₂)α₁+(2k₁+k₂)α₂=0．
   由于α₁，α₂线性无关，得到推出k₁=k₂=0，
   因此β₁，β₂线性无关．
   由于α₁，α₂是Ax=0的基础解系，故该方程组的任意两个线性无关的解都是它的基础解系．从而β₁，β₂也是Ax=0的基础解系．