一、单项选择题1. 设有一组观测数据(x
i，y
i)，i=1，2，…，n，其散点图呈线性趋势，若要拟合一元线性回归方程
，i=1，2，…，n，则估计参数β
0，β
1应使______
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析] 最小二乘法的基本思想是选取β
0，β
1的估计量
，使
，其中右端min是对一切β
0，β
1的容许值取的Q的最小值．答案为C．
3. 设随机变量ξ和η的密度函数分别为
若ξ与η不相关，E(ξη)=
A．
B．
C．
D．1
A B C D
A
[解析]
又ξ和η不相关，则
．
6. X服从[1，3]上的均匀分布，下列结论不正确的是______
A．P(X=2)=0.5
B．P(X＞2)=0.5
C．E(X)=2
D．
A B C D
A
[解析] 连续型随机变量取一个定值的概率为零，所以A错．根据已知，X的概率密度函数为
，所以B对．
均匀分布X的期望
，所以C对．
均匀分布X的方差
，所以D对．
8. 对线性回归模型y=a+bx+ε，ε～N(0，σ
2)，如由一组观测值(x
i，y
i)，(i=1，2，…，n)建立的线性回归方程为：
，则______不成立(其中
)
A．
是a的有偏估计
B．
分别是a，b的极大似然估计
C．
分别是a，b的最小二乘估计
D．
A B C D
A
[解析] 由于
，所以
是a的无偏估计，选项A错；
分别是a、b的极大似然估计，选项B对；
分别是a、b的最小二乘估计，选项C对；
由于
，两式相减：
，所以选项D对．答案为A．
9. 设随机变量X
1，X
2，…，X
n…相互独立，它们满足大数定理，则X
i的分布可以是______
A．
B．X
i服从参数为
指数分布
C．X
i服从参数为i的泊松分布
D．X
i的密度函数
A B C D
A
[解析] 只要判断此序列是否独立同分布，且数学期望存在；或独立但分布不同，而数学期望、方差都存在，且方差一致有界即可．选项A中X
i独立同分布，且
，级数
收敛，因此E(X
i)存在．选项D中X
i独立同分布，但E(X
i)不存在，因为
选项B、选项C中X
i不同分布，且选项B中D(X
i)=i
2，选项C中D(X
i)=i，均是i的无界函数．
二、填空题1. 随机变量X的概率密度
则E(2X)=______．
2
[解析]
E(2X)=2E(X)=2．
2. 设随机变量X服从(-2，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X
2的函数F
Y(y)=______．
[解析] 分析：已知X～f
X(x)，x∈(-2，2)
当y＜0时，F
Y(y)=P(Y≤y)=P(X
2≤y)=0，
当0≤y＜2时，
当y≥2时，
即
3. 设随机变量X和Y相互独立，且X～B(10，0.3)，y～G(0.6)，则Z=2X-3Y-5的数学期望为______，方差为______．
-4，18.4
[解析] 因X～B(10，0.3)，Y～G(0.6)，因此
E(X)=10×0.3=3，D(X)=10×0.3×0.7=2.1，
，故
E(Z)=E(2X-3Y-5)=2E(X)-3E(Y)-5
D(Z)=D(2X-3Y-5)=2
2D(X)+(-3)
2D(Y)
4. 设X
1，X
2，…，X
n为来自正态总体N(μ，σ
2)的简单随机样本，其中参数μ和σ
2未知，记
，则假设H
0:μ=0的t检验使用统计量t=______．
[解析] t检验，
5. 已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx，-∞＜x＜+∞系数A和B分别为______．
三、计算题设一批产品共2000个，其中有40个次品，随机抽取100个样品，求样品中次品数X的分布列，分别按下列方式抽样：1. 不放回抽样．
解：随机变量X的可能的值为0，1，2，…，40，由于是不放回抽样，所以由古典概型求概率的计算公式，X的分布列为：
2. 放回抽样．
解：随机变量X的可能的值为0，1，2，…，40，由于是放回抽样，所以可看成做了100次重复独立试验，随机变量X服从二项分布，则有X的分布列为：
注意：不放回抽样和放回抽样不仅概率分布不同，而且随机变量X的可能的值也不同．
3. 若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试门上的锁，设取到每只钥匙是等可能的．若每把钥匙试开一次后除去，试求试开次数X的数学期望．
解：由题意知X的所有可能取值为：1，2，…n．且有
干暑X的分布律为：
因此
四、综合题1. 已知20世纪四个年度的一英里赛跑的世界纪录见下表：
| 年份x(年) | 43 | 45 | 58 | 67 |
| 纪录y(秒) | 242.6 | 241.4 | 234.5 | 231.1 |
为了用曲线
拟合这些数据，试计算a，b的估计
的值，并预测75年的世界纪录．
先把此非线性回归问题线性化，
令y'=lny，a'=lna，
．则回归方程为y'=a'+bx'，现列表计算如下：
| i
|
x'i
|
y'i
|
|
x'iy'i
|
| 1
|
0.023
|
5.49
|
0.000529
|
0.12627
|
| 2
|
0.022
|
5.486
|
0.000484
|
0.120692
|
| 3
|
0.017
|
5.46
|
0.000289
|
0.09282
|
| 4
|
0.015
|
5.443
|
0.000225
|
0.081645
|
| 计
|
0.077
|
21.879
|
0.001527
|
0.421427
|
据此可求出
所以，回归直线为y'=5.360+5.726x'
相应的回归曲线方程为：
当x=75时，预测值为
求：2. 关于X的边缘密度f
X(x)．
当0＜x＜1时，
当x≤0或x＞1时，f
X(x)=0
五、应用题1. 设总体X的均值为μ，方差为σ
2，其中σ
2为未知参数，又x
1，x
2，…，x
n为样本，且
证明：
为σ
2的无偏估计．
2. 对两批同类电子元件的电阻进行测试，各抽6件，测得结果如下(单位：Ω)：
A批：0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137；
B批：0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141．
已知元件服从正态分布，设α=0.05，问：
(1)两批元件的平均电阻是否有显著差异；
(2)两批元件的电阻的方差是否相等．
依题意提检验问题
(1)
α=0.05，n
1=6，n
2=6，查表得
，
因为|t|＜t
0.025(10)，所以接受H
0，即认为两批元件的平均电阻无显著差异．
(2)
α=0.05，n
1=6，n
2=6，查表得
，因为F＜F
0.025(5，5)，所以接受H
0，即认为两总体的方差是相等的．
知X与Y不相关，故选B，其他选项由于条件不足，无法判定．
则X与Y______
，若ρXY=0，则______
，则ρXY=ρ=0，∴X与Y不相关，且X与Y相互独立．
，F(x)为其分布函数，则F(2)=______
，可得
，由此得
深色：已答题 浅色：未答题