B

[解析] 因为B恰是正定二次型的定义．A错．如，这里知道f(x₁，x₂)虽然负惯性指数为零，但不是正定二次型，因为取时，f(x₁，x₂)=0．C错．如不管|A|=1＞0，但因为它的一阶主子式-1＜0，知f(x₁，x₂)=X'AX也不是正定二次型．D错．
   如
   知|A|=0，故实二次型f(x₁，x₂)=X'AX不正定．答案为B．

C

[考点] 特征值与特征向量
[解析] 由于A是实对称矩阵，A一定有3个线性无关的特征向量，属于每一个特征值的线性无关的特征向量个数一定与此特征值的重数相等．

A

C

[解析] 因为有3个未知数，所以是三元实二次型，a₁₂+a₂₁=-1，又因为a₁₂=a₂₁，所以．答案为C．

D

[解析] ∵A、B正定，∴对任何元素不全为零的向量X永远有X'AX＞0；同理X'BX＞0，X'(A+B)X=X'AX+X'BX＞0．因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是对称阵．答案为D．

2

[解析] ∵α⊥β，∴2a-4=0，∴a=2．

100

E

[解析] 存在可逆矩阵P使，因此所以
   

线性无关

[解析] A～B知A和B有相同的特征值，故A有1，2，3三个不同的特征值，A为三阶的，故A的三个特征值对应的三个特征向量线性无关．

0

[解析] 根据题意即Ax=0有非零解|A|=0．

2

6；1，；6，-3，-2；4，1，4

[解析] 本题考查利用公式求特征值与特征向量，设λ_i为n阶方阵A的特征值，P_i为A的对应于特征值λ_i的特征向量，i=1，2，…，n，则
   (1)f(A)的特征值为f(λ_i)，对应于f(λ_i)的特征向量为p_i，i=1，2，…，n，其中f(x)为x的多项式；
   (2)设A可逆，则A^-1的特征值为，对应的特征向量为p_i，i=1，2，…，n；
   (3)设A可逆，则A*的特征值为，对应的特征向量为p_i，i=1，2，…，n；
   (4)A^T的特征值为λ_i，i=1，2，…，n，对应的特征向量为p_i，i=1，2，…，n；
   (5)若B=P^-1AP，则B的特征值为λ，对应的特征向量为P^-1p_i，i=1，2，…，n；
   从而有：|A|=1·(-2)·(-3)=6
   A^-1的特征值为：
   A*的特征值为：6，-3，-2；
   A²+2A+E的特征值为：4，1，4．

λ₁=λ₂=λ₃=1，λ₄=-1

[解析] A的特征多项式为
   所以A的全部特征值为λ₁=λ₂=λ₃=1，λ₄=-1．

解：齐次线方程组有非零解的充要条件是系数行列式
   
   所以λ=1或λ=-2
   对于λ=1，同解方程组为x₁+x₂+x₃=0，自由未知量为x₂，x₃，方程组通解为
   
   对于λ=-2，对系数矩阵作初等行变换，有
   
   同解方程组为自由未知量为x₃，方程组通解为

解：二次型的矩阵
   由
   得A的特征值为λ₁=3，λ₂=7．
   当λ₁=3时，齐次方程组(3E-A)x=0的基础解系为β₁=(1，1)^T，
   单位化得
   当λ₂=7时，齐次方程组(7E-A)x=0的基础解系为β₂=(-1，1)^T，
   单位化得
   令，则Q为正交矩阵，
   从而经正交变换x=Qy，化为标准形

解：由于A为正交矩阵，因此A的列向量组与行向量组均为标准正交向量组，故因此a₁₃=a₂₃=0；同理a₃₁=a₃₂=0即
   又A正交，因此A^-1=A^T，所以
   

证：令k₁β₁+k₂β₂+k₃β₃=0，
   则k₁α₁+k₂(α₁+α₂)+k₃(α₁+α₂+α₃)=0，
   (k₁+k₂+k₃)α₁+(k₂+k₃)α₂+k₃α₃=0，
   由于α₁，α₂，α₃线性无关，所以
   线性方程组的系数行列式，
   因此仅有0解，即k₁=k₂=k₃=0，所以β₁，β₂，β₃线性无关．