解 本题的荷载有正对称和反对称两种，用半结构求解。在正对称荷载下半结构见图(b)(中间的轴力杆没有位移，化为一链杆支座)，反对称荷载下半结构见图(c)(根据反对称荷载下正对称的未知力为零判断出中间轴力杆轴力为零)。由于题目没有指定方法，因此可以选择最方便的方法。正对称半结构只有一个转角未知量，可用位移法或力矩分配法求解，过程略，正对称弯矩图见图(d)；反对称半结构用力法最方便，过程略，反对称弯矩图见图(e)。叠加后的总弯矩图见图(f)。
   

解 本例虽然从整体看不是对称结构，但上下层之间通过一根无轴向变形的轴力杆相连，结点B相当于下层的固定铰支座，仅看下层是对称的，可以简化为图(b)所示的半结构，有一个转角未知量，用位移法求解很方便，过程略。AC杆为一端固定一端铰支的单跨梁，可以直接画出弯矩图。综合后的结构总弯矩图见图(c)。
   

解 本题为反对称荷载，根据本书第二章所讲对称性的零杆判断方法，可以判断出中间二力杆在反对称荷载下为零杆，简化半结构[见图(b)]，不需计算即可画出弯矩图。水平杆由于不考虑轴向变形，轴力无法求出。综合以上分析，画出原结构弯矩图和轴力，见图(c)。
   

解 本题为正对称荷载，因此C结点无转角，只有一个线位移未知量，增加一个附加约束，基本体系见图(b)，C点实际位移向下。图和M_P图见图(c)、(d)。利用公式，并将C点线位移代入Δ₁叠加后得结构的弯矩图，见图(e)。
   

解 将荷载分解成正对称和反对称荷载，并取相应的半结构[见图(b)、(c)]。正对称半结构只有一个结点转角未知量，计算过程略，正对称弯矩图见图(d)。
   以下将重点讲解反对称荷载的计算。从图(c)可以看出，中间竖杆为剪力静定杆，可以不取水平位移未知量，只取转角未知量，这样做位移法未知量最少。基本体系见图(e)。继续画出图和M_P图[见图(f)、(g)]，注意中间竖杆上端水平位移是不受约束的，相当于定向结点(道理同渐进法中的无剪力分配法)。位移法方程k₁₁Δ₁+F_1P=0，k₁₁=4EI，F_1P=7.5，代入方程求解得Δ₁=-15/8EI，反对称荷载下的弯矩图见图(h)。将正反对称荷载的弯矩图叠加后得原结构弯矩图，见图(i)。
   

解 先求出支座反力，并将其分解成正反对称荷载，在正对称荷载下无弯矩(前面已有不少这样的例题)，反对称荷载见图(b)。从图(b)中可以看出，此时的荷载沿y轴是正对称，沿x轴是反对称，简化成1/4结构见图(c)。图(c)中的上图是直接从图(b)中简化来的，但是在竖向缺少约束，是几何可变体系，为保证其几何不变性，需要增加一个竖向约束(该约束的反力应等于零)，在E点或F点加都可以，实际的1/4结构是(c)中的下图。求解时可以取两个未知量，也可以只取一个转角未知量(因为BF为剪力静定杆)，本例选择后一种方法。增加一个附加约束，基本体系见图(d)。应注意画和M_P图时BF杆的B端相当于定向结点，M_P图中的BF杆弯矩图为两种荷载叠加。位移法方程为k₁₁Δ₁+F_1P=0，系数k₁₁=2EI，F_1P=-6kN·m，解方程得Δ₁=3/EI。1/4结构弯矩图见图(g)，整个结构弯矩图见图(h)。
   

解 将荷载分解为正反对称并简化半结构，正对称半结构见图(b)，不需计算可以直接画出弯矩图。反对称半结构见图(c)，属于复杂的斜刚架，在此不再赘述，反对称半结构的弯矩图见图(d)。叠加后原结构的弯矩图见图(e)。
   

解 先大致画出变形图见图(b)，从图中可以看出，整个结构为中心对称结构，有两个转角和一个水平位移，由于荷载反对称，因此两个转角的绝对值是相等的，方向也从图中容易看出，所以本题采用两个未知量计算，基本体系见图(c)。再画出和M_P图，图中AB杆弯矩为两端固定杆在两端同时发生支座转角时产生的弯矩。位移法方程为，求刚度系数和自由项应注意，k₁₁、k₁₂、F_1P应等于两个附加刚臂上的力之和，k₁₁=10EI/l，k₁₂=k₂₁=-6EI/l²×2=-12EI/l²，k₂₂=24EI/l³，F_1P=0，F_2P=-F_P。将各系数代入位移法方程并求解，得Δ₁=F_Pl²/8EI，Δ₂=5F_Pl³/48EI。叠加得最后弯矩图见图(g)。
   

[解析] 本题是中心对称结构，其实用力法最简便，将荷载分解为正对称和反对称，正对称荷载下无弯矩，反对称荷载下对称轴处只有弯矩不为零，即只有一组未知量。但题目要求用位移法，具体求解过程如下。

解 本题荷载正对称，且由于斜杆的作用，对称轴处的结点无位移，相当于固定支座，半结构见图(b)，一个转角未知量，计算过程略。弯矩图见图(c)。
   

解 本题荷载沿y轴反对称，取半结构见图(b)，该半结构又沿x轴正对称，简化为1/4结构见图(c)。用力矩分配法或位移法计算都很方便，过程略。1/4结构弯矩图见图(d)，最后画出原结构弯矩图见图(e)。
   

解 利用对称性取半结构，有两个未知量，B点转角和A点水平位移，位移法方程为，图、和M_P图见图(d)、(f)、(b)。画图时，应先弄清楚Δ₂=1时结构的变形图[见图(e)]，B点左移单位位移至B'点，D点将下移至D'点，且应保证位移后的BD杆沿原方向的投影长度与原长相等，即BB' cosα=DD'sinα，将BB'=1代入求出DD'=4/3，接下来可以继续求出垂直于BD杆的位移分量，该位移分量作为BD两点的相对线位移，将引起BD杆的弯矩。求刚度系数和自由项的过程如下：
   (1)由M_P图中B结点力矩平衡易得F_1P=0。求自由项F_2P时，根据M_P图，取隔离体[见图(c)]。由上图∑M_B=0得F_RA=0，再由下图∑M₀=0得，F_2P=-20kN。
   (2)由图中B结点力矩平衡可得。
   (3)再分析图。由结点B的力矩平衡得是。求k₂₂时，见图(g)。在上图中，由∑M_B=0得F_RA=0，再由下图，∑M_O=0得，k₂₂=109EI/240。
   将系数带入方程解得Δ₁=0.432/ET，Δ₂=44.06/EI，画出弯矩图，如图(h)所示。
   
   本题特点：本题中的斜杆两端位移方向不同，这时为保证杆长不变，两端位移是有比例关系的，需要准确找到这个比例关系才能画出弯矩图。这类题目是位移法中最复杂的一类。

解 本题为对称荷载，可以简化半结构用位移法计算，过程略，弯矩图见图(b)。B、C点弯矩与α成反比，α越大，结点弯矩越小，跨中弯矩越大。当α→0时，梁刚度相对于柱无限小，柱相当于梁的固定支座，见图(c)，此时支座弯矩最大，为ql²/12，跨中弯矩最小，为ql²/24。当α→∞时，柱刚度相对于梁无限小，柱相当于梁的固定铰支座，见图(d)，此时支座弯矩最小，为0，跨中弯矩最大，为ql²/8。
   

解 本题中的两图为超静定结构，应先画变形图的轮廓才能画出弯矩图轮廓。
   (1)图(a)。先画出变形图[见图(c)]。变形的顺序是AB杆在荷载作用下先发生变形，B点和C点右移且B点顺时针转动，再由位移协调条件判断出BC杆向下弯曲，CD杆向右弯曲。注意，有些读者画出的变形图为图(d)，两者的区别在于图(c)中BA杆有拐点，图(d)中无拐点，通过B结点的弯矩平衡可以判断，图(d)错误。再进一步根据变形图的弯曲侧画出弯矩图的形状，见图(e)。还应注意，BE段的弯矩图应向右倾斜，剪力为负值，否则两竖杆的剪力为同方向，不能保持平衡。
   (2)图(b)。变形图和弯矩图分别见图(f)、(g)。需要注意的是BC杆应有拐点，B点顺时针旋转，结点B弯矩应保持平衡。BC杆C端弯矩应大于B端，这可以用力矩分配法大致计算一下，Δ引起的固端弯矩为-6iΔ/l，B点转角引起的弯矩为B端4iθ、C端2iθ，两者叠加后可得C端弯矩大一些。
   

由于A支座反力沿AB杆轴线方向作用，不引起AB杆的弯矩，因此AB杆只有轴力，可以化为图(b)结构并且B支座反力沿图示方向。将B支座反力分解，可见沿x向分量水平朝右，因此水平杆位移向右，结构变形图示于图(b)中。根据变形图的受拉侧可以较容易地画出弯矩图形状，见图(c)。
   (2)剪力图根据弯矩图求出，由于弯矩图都是直线，计算很简单。例如，BE段剪力等于两端弯矩差除以长度；正负号判断方法是：从杆轴至弯矩图顺时针旋转时剪力为正，例如BE段剪力为正值，结构剪力图形状见图(d)。
   (3)结构轴力图正负号判断如下：由于荷载向下，因此AB杆和CD杆受压，BC杆是根据支座反力的水平分量向右判断出轴力为压力。也可以根据结点的受力平衡，由剪力图求轴力。结构轴力图形状见图(e)。
   (4)原结构变形图见图(f)，由于各杆EA有限大，所以各杆变形后的投影长度应小于原长。
   

解 根据外荷载的方向可以判断出A点顺时针旋转，B点逆时针旋转，变形图形状见图(b)。应注意：
   (1)AB杆在靠近A端应上凸，这是根据弯矩上侧受拉判断的，判断方法如下：应用力矩分配法的原理，在A、B两点加刚臂，有S_AB=S_AD，在外荷载作用下A点的不平衡力矩为-M-F_Pl/8，分配后的M_AB近似变为(M-F_Pl/8)/2(暂时忽略了B点传递来的弯矩，因此是近似)，将已知条件M＜F_Pl/8代入前式可得M_AB为负值，上侧受拉，如果再考虑B点传来的弯矩，M_AB应该是增加的。
   (2)B点弯矩应注意平衡，在三杆弯矩中M_BA是最大的。
   (3)整个结构的弯矩中M_AD最大，也是应用力矩分配法的原理判断。根据变形图画出的M图，如图(c)所示。
   剪力图可以由弯矩图确定，直线弯矩图对应的剪力为常数，正负号根据弯矩图的倾斜方向确定，最终剪力图见图(d)。
   

解 本题从D点分成左右两个独立的结构，右半部分由于支座F的反力沿杆轴作用，对弯矩无影响，因此可以看作静定部分，弯矩图形状很容易画出，见图(b)。注意：E点有力偶作用，弯矩图应该有突变，但左右两侧弯矩图不平行，是因为E点有支座反力，如果没有该反力，力偶两侧弯矩图应该平行。
   再分析D点左侧部分。采用力矩分配法的原理，先大致求一下转动刚度和分配系数，S_CD=3EI/l，S_CB=EI/l(由于AB杆刚度无穷大，所以不弯曲，B点可以沿竖向移动，因此B点相当于CB杆的定向支座)，μ_CD=3/4，μ_CB=1/4。再将荷载分成结点力偶和均布力单独作用，在结点力偶作用下，直接画弯矩图，见图(c)；在均布荷载下先求出BC杆的固端弯矩(C端固定，B端定向)，再按分配系数分配画出弯矩图[见图(d)]。两图叠加并加上右半部分得总弯矩图形状，如图(e)所示。
   

解 先将左支座的沉降分解成b和a-b两部分，结构沉降变成图(b)和图(c)两部分叠加。图(b)沉降量为正对称，支座下移导致杆向下弯曲，弯矩下侧受拉，示于图中。图(c)中先画出变形图用虚线表示，再根据变形图的凸向画出弯矩图。将图(b)和(c)叠加，可以看出B点弯矩是两图相加，C点弯矩两图是相反的，应该相减，但不确定是上侧受拉还是下侧受拉，因为沉降量相差多少不确定。当沉降量a比b大很多时，图(c)中的C点弯矩大于图(b)中的C点弯矩，弯矩图将如图(e)所示，否则将是图(d)。
   

结构变形图见下图
   

[解析] 先画下层变形图，竖杆在水平荷载作用下右移，且刚结点顺时针转动，根据水平杆应与竖杆保持垂直的特点，画出水平杆变形图。上层因为水平杆刚度无穷大，所以竖杆上端只平动，不转动，竖杆下端与下层转角保持一致。

(1)图(a)应当看作静定结构，因为B支座水平反力不引起弯矩，可以去掉，去掉后就变成了静定结构。静定结构应先画弯矩图形状，才能准确判断变形图的弯曲方向。对应的弯矩图和变形图分别见图(d)中的虚线和实线。
   (2)图(b)为超静定结构，可以先画变形图。由于上下层柱均有剪力且剪力相等，因此两层柱都有侧移，其中上层侧移为下层的2倍，并且刚结点处无转角(因为横梁刚度无穷大)。最后变形图见图(e)。
   (3)图(c)中AB部分为超静定，B点以右为静定部分。本题只有超静定部分产生弯矩，静定部分无荷载，也无温度变化，因此无弯曲。变形图见图(f)。
   

(1)图(a)。先画变形图，在荷载作用下B点右移并顺时针转动，大致的变形图见图(c)。这里需要注意的问题是BA杆和BC杆是否有拐点，这是变形图中的细节问题，要结合弯矩图才能最终作出判断。根据变形图的弯曲侧大致画出弯矩图的形状，见图(d)。从中可以看出A、C两点为铰结点，弯矩为零，AB和BC杆只能单侧受拉，杆中不会出现拐点(拐点是变形曲线的凸向从一侧到另一侧的过渡点，拐点处的弯矩应该等于零)，图(c)的变形图是正确的，不需要修正。还有一种可能是AB杆的弯曲变形凸向右侧，对应的弯矩图是右侧受拉，见图(e)、(f)。注意：无论哪种情况，画弯矩图时，与B结点相连的各杆端弯矩竖标都应符合结点B的弯矩平衡。
   (2)解图(b)的关键是判断B点是左移还是右移。先画出水平杆的变形图，可知B结点逆时针旋转，则AB杆的B端也应逆时针旋转。又由于荷载和C支座反力沿竖直方向，则它们到AB杆任意一点的力臂是相同的，因此对AB杆的力矩也是相同的，所以AB杆的弯矩是常数。这就要求B点必须左移才能同时保证AB杆逆时针旋转和弯矩为常数这两个条件。最终弯矩图可以根据变形图的弯曲侧画出，变形图和弯矩图分别见图(e)、(f)。还需注意：B点弯矩应保持平衡，因此BC杆有拐点，这一点在变形图中应该准确表达出来。
   

解 本题为正对称，简化半结构见图(b)，其中A点y方向的支座是为结构保证几何不变而增加的，反力为零，对内力无影响。可见半结构是静定结构，在温度变化下不产生内力，因此结构的弯矩图为零。变形图见图(d)。画变形图时应注意：C、D两点保持刚结点，各杆由于温度升高应伸长且向内弯曲，变形图应对称。
   
   本题所表达的知识点是：超静定结构并不是在温度变化下一定能产生内力，从根本上说，只有变形受到阻碍时才会引起内力，而本题的变形是不受阻碍的，因此不产生内力。

解 本题荷载正对称，先简化半结构见图(b)，注意半结构中弹簧刚度应减半。半结构有两个未知量，刚结点转角和弹簧处的线位移，画出基本体系、图、图和M_P图分别见图(c)、(d)、(e)、(f)。位移法方程为各系数如下：k₁₁=6EI/l，k₁₂=k₂₁=-3EI/l²，k₂₂=3EI/l³+k/2=6EI/l³，F_1P=-ql²8，F_2P=-3ql/8。代入方程求解得Δ₁=5ql³/72EI，Δ₂=7ql⁴/72EI。
   原结构最后的弯矩图见图(g)。
   

解 本题在弹簧支座处有一个线位移未知量，此处略去，弯矩图见图(b)。下面将重点进行校核，先校核平衡条件，用弹簧支座反力和外荷载对A点取矩，求出M图中A点的弯矩，可见满足平衡条件。再校核位移条件，校核固定支座处的转角是否等于零。取图(c)的基本结构并施加一虚单位力偶，画出图，图乘得，满足位移条件。所以计算结果正确。
   

解 本题由于CD杆的刚度无穷大，所以C点线位移和转角不独立，因此取两个未知量，B点转角和C点线位移，基本体系见图(b)。画出、M_P图，应注意无穷大杆的弯矩必须满足平衡条件，在Δ₂=1时弹簧有变形并产生反力，其余情况弹簧均没有反力。位移法方程为其中k₁₁=8EI/l，k₁₂=k₂₁=-4EI/l²，k₂₂=16EI/l³+k=17EI/l³，F_1P=0，F_2P=-F_P。代入方程求解得Δ₁=F_Pl²/30EI，Δ₂=F_Pl³/15EI。叠加后的原结构弯矩图见图(g)。
   

解 本题有两个未知量，横梁的水平位移和弹簧支座处的转角，基本体系见图(b)，再画出、M_P图。弹簧对应的转角编号为Δ₁，其只对k₁₁有影响，将k₁₁加上k即可。位移法方程为其中k₁₁=EI+k=3EI，k₁₂=k₂₁=-3EI/8，k₂₂=3EI/8，F_1P=0，F_2P=-F_P。代入方程求解得Δ₁=8F_P/21EI，Δ₂=64F_P/21EI。叠加后的原结构弯矩图见图(f)。
   

解 本题只取一个线位移未知量，在C点加一附加链杆，画出图和M_P图。注意以下两点：
   (1)M_P图中先画CB杆的弯矩图，再将AC两点连成直线，弹簧支座无变形所以反力等于零，对弯矩没有影响。
   (2)图中支座下移，CB杆相当于两端固定，由C点转角1/2l和竖向单位位移两个因素引起弯矩[见图(c)]，先画出CB杆的弯矩；无穷大杆的弯矩按下述方法画出：弹簧支座受到压缩，求出产生的反力，再将AC两点弯矩连成虚线，用分段叠加法叠加上弹簧反力引起的弯矩，由于刚度k没有给出具体数值，因此叠加后D点的弯矩图有上侧受拉和下侧受拉两种情况，图(d)中只画出一种。将Δ₁=ql⁴/(40EI)代入公式中，可以得到结构的弯矩图，见图(e)或(f)。
   

解 本题有两个未知量，分别是抗转弹簧处的转角和支座C处的线位移，增加约束画出基本体系，见图(b)。图中，抗转弹簧有反力，支座C处的弹簧受到约束不变形；图中C支座弹簧有反力，抗转弹簧不变形；M_P图中两个弹簧均被固定住，均无反力。位移法方程为，各系数k₁₁=4EI/l+4EI/l+4EI/l=12EI/l，k₁₂=k₂₁=-6EI/l²，k₂₂=12EI/l³+3EI/l³=15EI/l³，F_1P=0，F_2P=-ql/2。代入方程求解得Δ₁=ql³/48EI，Δ₂=ql⁴/24EI。叠加后的原结构弯矩图见图(f)。
   

解 B点有一个线位移未知量，画出基本体系见图(b)。图和M_C图见图(c)、(d)。位移法方程为k₁₁Δ₁+F_1C=0，k₁₁=3EI/l³+k=6EI/l³，F_1C=-3EI/l²，代入方程解出Δ₁=l/2。弯矩图见图(e)。
   

解 本题是无穷大杆、支座位移及弹性支座的综合性题目。先判断未知量，当A支座转动时，AB杆刚体转动，B点有转角和竖向位移，但都与已知位移θ有关，未知量只有C点转角和竖向位移。画图时应注意，BC杆相当于两端固定，画出其弯矩图后，等斜率延伸至A点就是无穷大杆的弯矩图，这是因为AC杆上无外荷载，因此弯矩图是直线且无折角，其余弯矩图类似。M_C图是由支座转角引起的，先画清楚杆件的变形图，再据此画弯矩图，其中BC杆是两端固定杆在B点转角θ和线位移θl/2下产生弯矩。各系数k₁₁=8EI/l，k₁₂=k₂₁=0，k₂₂=24EI/l³+k=27EI/l³，F_1C=5EIθ/l，F_2C=-12EIθ/l²。代入位移法方程，求解得Δ₁=-5θ/8，Δ₂=4lθ/9。结构弯矩图见图(g)。