三、解答题1. 求通过点M(1，1，1)且法向量为{4，2，1}的平面方程．
解 由平面的点法式方程有
4(x-1)+2(y-1)+z-1=0，
即
4x+2y+z-7=0．
2. 求过三点A(0，0，0)，B(-2，1，3)和C(1，2，4)的平面方程．
解1 设所求平面的法向量为n，由
，得到
，而
，
取n={-2，11，-5}，由平面的点法式方程，得
-2(x-0)+11(y-0)-5(2-0)=0．
即
2x-11y+5z=0．
解2 因平面方程过原点，由一般式方程知道D=0，故设
Ax+By+Cz=0(A，B，C不全为零)
为所求平面方程．又平面过B，C点，于是
代入所求方程整理并消去C得所求平面方程为
2x-11y+5z=0．
在本题中，A，B，C三个参数有两个是独立的，可解出其中两个参数表示为第三个参数的关系，除将其代入所求平面方程消去第三个参数外，也可将第三个参数取适当值，如取C=5即可．
3. 求过两点A(1，1，1)和B(-1，1，0)且与平面x+y-z=0垂直的平面．
解 设所求平面方程为
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，A，B，C不全为零．
因平面过A点，故
A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0．
又平面过B点，则
A(-1-1)+B(1-1)+C(0-1)=-2A-C=0．
于是
C=-2A．
又所求平面垂直于平面x+y-z=0，故{A，B，C}⊥(1，1，-1}，即
A+B-C=0．
在C=-2A中，取A=1，得C=-2，代入上式得B=-3，所求平面方程为
(x-1)-3(y-1)-2(z-1)=0．
整理得
x-3y-2z+4=0．
4. 求过点M(4，-3，-2)且垂直于两平面x+2y-z=0和2x-3y+4z-5=0的平面方程．
解 设所求平面的法向量为n，因为两平面的法向量分别为n
1={1，2，-1}，n
2={2，-3，4}，n∥n
1×n
2，
取n={5，-6，-7}，又平面过点M(4，-3，-2)，由点法式得
5(x-4)-6(y+3)-7(z+2)=0，
整理得
5x-6y-7z-52=0．
5. 确定两平面2x+3y+4z+4=0与2x-3y+4z-4=0的位置关系．
解 因为两平面的法向量分别是n1={2，3，4}和n2={2，-3，4}显然，n1与n2不平行，则两平面不平行也不重合；又n1·n2=2×2+3×(-3)+4×4=11≠0，故两平面不垂直，应为相交但不重合．
6. 两平面3x+by+3z-5=0与ax-6y-z+2=0平行；
解 两平面的法向量分别是n
1={3，b，3}和n
2=(a，-6，-1)，由于两平面平行，故n
1∥n
2等价于n
1=λn
2(A是常数)．于是
由后一等式，得λ=-3，代入其余等式，得a=-1，b=18．
7. 两平面3x+4y+3z-3=0与ax-6y-z+2=0垂直．
解 两垂直的平面的法向量分别是n1={3，4，3}，n2={a，-6，-1}，由于，n1⊥n2，故，n1·n2=3a-24-3=0，得a=9．
8. 若平面π过点M(2，-1，5)且与直线l：
垂直，求π的方程．
解 由于l⊥π，π的法向量可取n={3，2，-1}，又π过M点，由点法式得平面方程为
3(x-2)+2(y+1)-(z-5)=0，
整理得
3x+2y-z+1=0．
9. 求过点A(1，2，1)和B(2，4，3)的直线方程．
解 所求直线的方向向量
，由直线的点向式方程得
注意 过两定点(x
1，y
1，z
1)和(x
2，y
2，z
2)的两点式方程为
10. 将
化为标准式方程．
解 设所求直线的方向矢量是s，由两平面的法向量分别是n
1={1，-1，-1)和，n
2={2，-3，6}，s∥n
1∥n
2，
取s={9，8，1}，在l上任取一点，令z=0，得方程组
得点(4，5，0)．所求标准式方程为
11. 确定直l
1：
和
的位置关系．
解 l
1的方向向量s
1={3，-2，1}，
l
2的方向向量
，由于-2s
1=s
2，故l
1∥l
2．
12. 求直线l：
与平面π：x-y-2=0的位置关系．
解 将l化为参数方程
代入平面π，得
3+2t+1-t-2=0
t=-2，
故x=-1，y=-3，z=4，即直线l与平面π相交．
13. 求过点M(1，2，3)且与直线x=2+3t，y=2t，z=-1+t垂直的平面方程．
解 取直线的方向向量s={3，2，1}作为平面的法向量，由点法式即得平面方程为
3(x-1)+2(y-2)+z-3=0．
整理得
3x+2y+z-10=0．
14. 求直线l：
与平面π：x+2y+2z-8=0的交点和夹角．
解 将l化为参数式
代入π的方程得
-3+3t-2(2+2t)+2(-1+t)-8=0．
解出t=17，从而交点坐标为x=-3+3×17=48，y=-2-2×17=-36，z=-1+17=16，即l与π的交点为(48，-36，16)．
l的方向向量
，π的法向量n={1，2，2}，设φ为l与π的夹角，则
故
15. 求球面x
2+y
2+z
2+2x-8y+6z+1=0的球心和半径．
解 因x2+y2+z2+2x-8y+6z+1=(x+1)2+(y-4)2+(z+3)2-1-16-9+1=0，故
(x+1)2+(y-4)2+(x+3)2=52
球心坐标(-1，4，-3)，半径为5．
16. 一球面过点A(0，0，0)，B(1，-1，1)，C(1，2，-1)和D(2，3，0)，求球面方程．
解 设球面方程为
x
2+y
2+z
2+ax+by+cz+d=0
因B，C，D，A点的坐标满足上述方程，代入得
所求球面方程为
2x
2+2y
2+2z
2-7x-4y-3z=0
也可化为标准形式
若设所求球面方程为(x-a)
2+(y-b)
2+(z-c)
2=r
2，也可求出所求球面方程，略．
17. 指出下列方程在空间直角坐标系下所表示的曲面．
(1)
(2)4x
2+9z
2=36；
(3)4x
2+9y
2+16z
2=36；
(4)4x
2-9z
2=36；
(5)x
2+y
2-2z=0；
(6)z
2=x
2+y
2；
(7)2x
2+y
2+z
2=1；
(8)z=1-y
2．
解 (1)母线平行于y轴，准线为
的圆柱面．
缺一变数的方程一般都表示一柱面(x
2+y
2=0表示直线)．反之不一定成立．
(2)，(4)，(8)均为柱面：(2)是椭圆柱面，(4)是双曲柱面，(8)是抛物柱面．
(3)，(7)是椭球面．
(5)可看作曲线
绕z轴旋转一周而成的旋转抛物面，也可看作曲线
绕x轴旋转一周而成．
(6)可看作直线
或
绕z轴旋转而成的锥面．
的位置关系是______
，则该直线必定______
的位置关系是______
的平面方程是______
表示______．
表示______．
深色：已答题 浅色：未答题