一、单项选择题在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案．
7. 若曲线y=x
2+1上点M处的切线与直线y=4x+1平行，则点M的坐标为______
- A.(2，5)
- B.(-2，5)
- C.(1，2)
- D.(-1，2)
A B C D
A
[解析] 由题意可知设点M处的坐标为(x
0，y
0)，则满足
①
又因过点M处的切线平行于直线y=4x+1，则可知斜率相等，
又y'=2x，所以2x
0=4， ②
①与②联立得
解之得x
0=2，y
0=5，
所以点M的坐标为(2，5)．
9. 设y
(n-2)=xlnx(n＞2，为正整数)，则y
(n)=______
A．(x+n)lnx
B．
C．
D．0
A B C D
B
[解析] 由题意y
(n-2)=xlnx(n＞2，为正整数)，
10.
- A.有一条水平渐近线，一条垂直渐近线
- B.有一条水平渐近线，两条垂直渐近线
- C.有两条水平渐近线，一条垂直渐近线
- D.有两条水平渐近线，两条垂直渐近线
A B C D
A
[解析]
有水平渐近线y=1，又因
则曲线
有垂直渐近线x=-2，
所以我们最终可以得到曲线
有一条水平渐近线，有一条垂直渐近线．
11. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是______
A．y=|x-1|，[0,2]
B．
C．y=x
2-3x+2，[1，2]
D．y=xarcsinx，[0，1]
A B C D
C
[解析] 因函数y=x
2-3x+2是由初等函数复合而成．则由一切初等函数在其定义区间内都是连续的．则可知y=x
2-3x+2在闭区间[1，2]上连续，又因y'=2x-3，则函数y=x
2-3x+2在开区间(1，2)内可导，又y(1)=1
2-3×1+2=0 y(2)=2
2-3×2+2=0，所以y(1)=y(2)，则存在ξ∈(1，2)使f'(ξ)=0，即2ξ-3=0，
故选C．
所以函数y=x
2-3x+2在闭区间[1，2]上满足罗尔定理的条件．
14. 设f(x)为可导函数，且f'(2x-1)=e
x，则f(x)=______
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 由题意可知：设2x-1=t，则
所以
则积分得
15. 导数
A．arcsinx
B．0
C．arcsinb-arcsina
D．
A B C D
B
[解析] 由题意可知
(C为常数)．则
16. 下列广义积分收敛的是______
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析] 对于A选项：
发散；对于B选项：
发散；对于C选项：
收敛；对于D选项：
发散；综上所述，选项C正确．
20. 设方程e
2z-xyz=0确定了函数z=f(x，y)，则
A．
B．
C．
D．
A B C D
A
[解析] 由题意可知 e
2z-xyz=0，令F(x，y，z)=e
2z-xyz，则F
x=-yz，F
z=2e
2z-xy，
22. 二元函数z=2xy-3x
2-3y
2+20在定义域内______
- A.有极大值，无极小值
- B.无极大值，有极小值
- C.有极大值，有极小值
- D.无极大值，无极小值
A B C D
A
[解析] 由二元函数z=2xy-3x
2-3y
2+20，
则z
x=2y-6x，z
y=2x-6y
令z
x=0，z
y=0，
则联立方程组得
求得驻点为(0，0)，
再求出二阶偏导数z
xx=-6，z
xy=2，z
yy=-6，
在点(0，0)处AC-B
2=(-6)×(-6)-2
2=32＞0，又A＜0，
所以二元函数z=2xy-3x
2-3y
2+20在点(0，0)处取得极大值．且函数z=2xy-3x
2-3y
2+20无极小值．
23. 设D为圆周x
2+y
2-2x-2y+1=0围成的闭区域，则
A B C D
A
[解析] D为圆周x
2+y
2-2x-2y+1=0围成的闭区域，即以点(1，1)为圆心，半径为1的圆域，由二重积分的性质可知
等于区域D的面积，即
24. 交换二次积分
(a＞0，常数)的积分次序后可化为______
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 由题意可知，积分区域D可表示为
如图所示
转化为先对x后对y的积分区域D又可表示为
25. 若二重积分
则积分区域D为______
A．x
2+y
2≤2x
B．x
2+y
2≤2
C．x
2+y
2≤2y
D．
A B C D
D
[解析] 由题意可知，积分区域D可表示为
如图所示
则转化为直角坐标系下的积分区域D为(y-1)
2+x
2=1(x≥0)
即区域D可表示为
28. 设幂级数
(a
n为常数，n=0，1，2…)在点x=-2处收敛，则级数
______
A B C D
A
[解析] 令u
n=(-1)
na
n，v
n=a
nx
n，又因为幂级数
(a
n为常数，n=0，1，2…)在点x=-2处收敛，所以
|u
n|=|(-1)
na
n|=|a
n|≤|a
n(-2)
n|=2
n|a
n|，
则
绝对收敛，即
绝对收敛，也可以由阿贝尔定理直接得到．
29. 微分方程sinxcosydy+cosxsinydx=0的通解为______
- A.sinxcosy=C
- B.cosxsiny=C
- C.sinxsiny=C
- D.cosxcosy=C
A B C D
C
[解析] 由微分方程sinxcosydy+cosxsinydx=0．
则
则-cotydy=cotxdx，所以-ln|siny|+C
1=ln|sinx|，
即ln|sinxsiny|=C
1，|sinxsiny|=e
C1，
故sinxsiny=C，(C为任意常数)．
二、填空题1. 设函数
则f(sinx)=______．
1
[解析] 因为函数
而|sinx|≤1，则f(sinx)=1．
2.
[解析]
3. 设函数y=arctan2x，则dy=______．
[解析] 由函数y=arctan2x，则
则
4. 设函数f(x)=x
3+ax
2+bx在x=-1处取得极小值-2，则常数a和b分别为______．
a=4，b=5
[解析] 函数f(x)=x
3+ax
2+bx在其定义域内连续，且处处可导．又f'(x)=3x
2+2ax+b．令f'(x)=0．得驻点
故函数f(x)=x
3+ax
2+bx在
处取极小值，
即
①，f(-1)=-2=-1+x-b ②，
①与②联立得
解之得a=4，b=5．
5. 曲线y=x
3-3x
2+2x-1的拐点为______．
(1，-1)
[解析] 由函数y=x3-3x2+2x-1可得y'=3x2-6x+2，y"=6x-6．令y"=0，即6x-6=0，则x=1．当x＞1时，y"＞0，当x＜1时，y"＜0；因此当x=1时，y=-1，所以可得(1，-1)为函数y=x3-3x2+2x-1的拐点．
6. 设函数f(x)、g(x)均可微，且同为某函数的原函数，f(1)=3，g(1)=1，则f(x)-g(x)=______．
2
[解析] 由函数f(x)，g(x)均可微，且同为某函数的原函数，因此可设某函数为φ(x)，则∫φ(x)dx=f(x)+C1，∫φ(x)dx=g(x)+C2，
则f(x)-g(x)=∫φ(x)dx-C1-(∫φ(x)dx-C2)=C2-C1=C，
即f(x)与g(x)相差一个固定的常数，又因f(1)=3，g(1)=1，
则f(x)-g(x)=f(1)-g(1)=3-1=2．
7.
[解析] 由对称区间上函数积分的性质可知，
9. 向量a={1，1，2}与向量b={2，-1，1}的夹角为______．
[解析] 由题意可知a={1，1，2}，b={2，-1，1}，
则a·b=1×2+1×(-1)+2×1=3．
所以
则
10. 曲线
绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为______.
y2+z2=2x
[解析] 设M
1(x
1，y
1，0)为曲线L上任意一点，那么有
当曲线l绕x轴旋转时，点M
1绕x轴旋转到另一点M(x，y，z)，这时x=x
1保持不变，且点M到x轴的距离
将x=x
1，
代入得y
2+z
2=2x．
11. 设函数
1+2xcosy
[解析] 由函数z=xy+x
2siny，则
所以
12. 设区域D={(x，y)|0≤x≤1，-1≤y≤1}，则
[解析] 由积分区域D={(x，y)|0≤x≤1，-1≤y≤1}，
13. 函数f(x)=e
-x2在x=0处展开的幂级数是______．
[解析] 由函数f(x)=e
x在x=0处展开的幂级数为
把e
x的幂级数展开式中的x换成-x
2，就可得到函数f(x)=e
-x2的幂级数展开式
14. 幂级数
的和函数为______．
[解析] 先求收敛域，
则收敛半径为R=2，在端点x=2处，幂级数为
是收敛的交错级数，在端点x=-2处，幂级数为
是发散的．因此收敛域为I=(-2，2]
设和函数为s(x)，即
利用和函数的性质可得到
的幂级数展开式中的x换成
，
所以
对上式从0到x积分，得
15. 通解为y=C
1e
-x+C
2e
3x(C
1、C
2为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为______．
y"-2y'-3y=0
[解析] 由通解为y=C1e-x+C2e3x(C1，C2为任意常数)可知λ1=-1，λ2=3．
则可知微分方程的特征方程为
r2-2r-3=0．
则通解为y=C1e-x+C2e3x(C1，C2为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为
y"-2y'-3y=0
三、计算题(每小题5分，共40分)
2. 求函数y=(x
2+3x)
sin2x的导数
[解析] 方法一 将函数y=(x
2+3x)
sin2x两边取自然对数，有
lny=sin2x·ln(x
2+3x)，两边对x求导，得：
3. 求不定积分
[解析]
4. 计算定积分
[解析]
5. 设z=f(2x+y)+g(x，xy)，其中f(t)，g(u，v)皆可微，求
[解析]
6. 计算二重积分
其中区域D由y=x，y=2x及x=1所围成．
[解析] 积分区域D可表示为
7. 求幂级数
的收敛区间(不考虑区间端点的情况)
[解析] 方法一
∴收敛半径
∴收敛区间为：|x-1|＜3，即(-2，4)；
方法二
∴由比值判别法知，当
即|x-1|＜3时，幂级数收敛，而当
即|x-1|＞3时，幂级数发散．
∴所求收敛区间为：|x-1|＜3，即(-2，4)．
8. 求微分方程x
2dy+(2xy-x+1)dx=0的通解．
[解析] 方法一 方程可化为x
2dy+2xydx=(x-1)dx，
即d(x
2y)=(x-1)dx，
两边积分有
故所求通解为：
，C为任意常数；
方法二 方程可化为
于是，
所以，方程的通解为：
方法三 方程可化为
该方程对应的齐次方程的通解为：
令原方程的通解为：
将其代入原微分方程，有
于是，C'(x)=x-1，
所以，
故原方程的通解为：
C为任意常数．
四、应用题(每小题7分，共14分)
1. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是x、y(千件)，甲厂的月生产成本是C
1=x
2-2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是C
2=y
2+2y+3(千元)．若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本．
[解析] 本题为求函数z=f(x，y)=x
2+y
2-2x+2y+8在条件x+y-8=0下的条件极值．
方法一 用拉格朗日乘数法
总成本f(x，y)=x
2+y
2-2x+2y+8，
约束条件φ(x，y)=x+y-8=0，
作辅助函数F(x，y)=x
2+y
2-2x+2y+8+λ(x+y-8)，
解得x=5，y=3，
由于驻点(5，3)唯一，实际中确有最小值，所以当x=5千件，y=3千件时使总成本最小．最小成本为f(5，3)=38千元；
方法二 化条件极值为无条件极值
总成本为z=f(x，y)=x
2+y
2-2x+2y+8，
约束条件x+y-8=0，
将y=8-x代入f(x，y)中，得
z=x
2+(8-x)
2-x+2(8-x)+8=2x
2-20x+88，
z
x=4x-20，令z
x=0，得x=5，
因为z
xx=4＞0，所以x=5时z取极小值．又因为极值点唯一，所以x=5时z取最小值．此时y=3，故x=5千件，y=3千件时，总成本最小．
最小成本为f(5，3)=38千元．
2. 由曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积．
[解析] 方法一 曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围的平面图形如图，
因抛物线顶点A的坐标为
且由y=(x-1)(x-2)可求得曲线段
于是，所求旋转体的体积为：
方法二(柱壳法) 选x为积分变量，得旋转体体积：
五、证明题(6分)
1. 设f(x)在[-a，a]上连续(a＞0，为常数)，证明：
并计算：
是______
则由题意可知函数y=f(x)的定义域为(-∞，+∞)，又因
是奇函数．
在x=0处连续，则常数a=______
在x=0处连续，
与平面3x-4y+3z+1=0平行，则常数n=______
则可得直线的方向向量s={1，n，3}，由平面方程3x-4y+3z+1=0，则可得到平面的法线向量，n={3，-4，3}，又因直线
与平面3x-4y+3z+1=0平行，则可知s·n=0，即3×1+(-4)×n+3×3=0，解之得n=3．
则偏导数fx(x，1)为______
深色：已答题 浅色：未答题