解答题1.
[解]
垂直渐近线为x=1．
斜渐近线为y=x-1．
2. y=(1+x
2)e
-x2．
y=(1+x
2)e
-x2为偶函数，所以只须考虑x＞0情况．
y'=2xe
-x2-2x(1+x
2)e
-x2=-2x
3e
-x2．
x＞0时，y'＜0，y递减，y(0)=1，
y"=-6x
2e
-x2+4x
4 e
-x2=(4x
4-6x
2)e
-x2．
时，函数是凸的，
时，函数是凹的．
3. 设f，g为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，求
[解]
所以
4. 设
，其中φ为可微函数，求
[解] 原式两边对y求导，x是y的函数，得
5. 设u=f(x，y，z)，又y=φ(x，t)，t=ψ(x，z)，求
[解]
8. 设z=f(e
xsiny，x
2+y
2)，其中f具有二阶连续偏导数，求
[解]
10. 已知z=f(xlny，x-y)，求
[解]
11. 设y=y(x)，z=z(x)，由
[解] 以上两式对x求导，得
由克莱姆法则解得
13. 设z=f[x
2-y，φ(xy)]，其中f(u，v)具有二阶连续偏导数，φ(u)二阶可导，求
[解]
14. 已知z=z(u)，且
，其中z(u)可微，φ'(u)连续，且φ(u)≠1，p(t)连续，试求
[解]
15. 设F(x，y(x)，z(x))=P(x，y(x))+Q(x，y(x))z(x)，其中出现的函数都是连续可微的，试计算
16. 设z=u(x，y)e
ax+y，
，试确定常数a，使
[解]
所以
=au
y'e
ax+y-u
y'e
ax+y=0．
于是a=1．
17. 若
满足
，其中f(u)有连续的二阶导数，求z．
[解]
同理可得
所以
令
于是uf"(u)+f'(u)=0.(uf'(u))'=0
即
18. 试求函数z=x
2+y
2-xy+x+y在闭域D：x≤0，y≤0及x+y≥-3上的最大值与最小值．
[解]
解得x=-1，y=-1，z(-1，-1)=-1．
当x=0时，x=y
2+y，-3≤y≤0．
最大值为z(0，-3)=9，最小值为
当y=0时，z=x
2+x，-3≤x≤0．
最大值为z(-3，0)=6．最小值为
当x+y=-3时，z=3x
2+9x+6，-3≤x≤0．
当
时z有最小值
即
当x=0时z有最大值z=6．即z(0，-3)=6．
当x=-3时z有最大值z=6．即z(-3，0)=6．
综上所述：z(0，-3)=z(-3，0)=6为最大值，z(-1，-1)=-1为最小值．
19. 在椭球面
内作内接直角平行六面体，求其最大体积．
[解] 设直角平行六面体在第一象限的顶点为(x，y，z)．
题目转化为求V=8xyz的最大值，其中x，y，z满足
令
当x→a-，y→b-，z→c-任意一个成立时，都有Ⅴ→0．所以
20. 求原点到曲面(x-y)
2-z
2=1的最短距离．
[解] 设曲面上达到最短距离的点为(x，y，z)，则题目转化为求d
2=x
2+y
2+z
2的最小值，其中x，y，z满足(x-y)
2-z
2=1．令F(x，y，z，λ)=x
2+y
2+z
2+λ(x-y)
2-λz
2-λ
由③，若λ=1，
代入①，②得
解得x=0，y=0．代入曲面方程(x-y)
2-z
2=1，得到z
2=-1，此时d不存在．
由③，若λ≠1，解得z=0，由①，②得到x=-y，代入曲面方程(x-y)
2-z
2=1，得到
所以所求的最短距离为
21. 当x＞0，y＞0，z＞0时，求函数u=lnx+2lny+3lnz在球面x
2+y
2+z
2=6r
2上的最大值，并证明对任意的正实数a，b，c成立不等式
[解] 构造函数F(x，y，z，λ)=lnx+2lny+31nz-λ(x
2+y
2+z
2-6r
2)．
因为在球面上当y
2+z
2趋于6r
2，x趋于0
+时，u趋于-∞．
所以当x=r，
时，u达到最大值．
对于任意正实数a，b，c，令
则
即
深色：已答题 浅色：未答题