一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设
则f(x,y)在点(0,0)处______.
- A.连续,但不可偏导
- B.可偏导,但不连续
- C.连续、可偏导,但不可微
- D.可微
A B C D
D
[解析] 由
得f(x,y)在(0,0)处连续,
由
得f
'x(0,0)=0,
再由
得
,
即f(x,y)在(0,0)处可偏导且f
'x(0,0)=0,
令
,则
因为
故f(x,y)在(0,0)处可微.选D.
3. 设
,则
为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由
得
选C.
4. 设f(x)在x
0的邻域内三阶连续可导,且f'(x
0)=f"(x
0)=0,f'''(x
0)>0,则下列结论正确的是______.
- A.x=x0为f(x)的极大值点
- B.x=x0为f(x)的极小值点
- C.(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点
- D.(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点
A B C D
C
[解析]
由极限的保号性,存在δ>0,当0<|x-x
0|<δ时,
当x∈(x
0-δ,x
0)时,f"(x)<0;当x∈(x
0,x
0+δ)时,f"(x)>0,则(x
0,f(x
0))为曲线y=f(x)的拐点,选C.
7. 设A为三阶矩阵,特征值为λ
1=λ
2=1,λ
3=2,其对应的线性无关的特征向量为α
1,α
2,α
3,令P
1=(α
1-α
3,α
2+α
3,α
3),则
.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] A*的特征值为2,2,1,其对应的线性无关的特征向量为α
1,α
2,α
3,
令P=(α
1,α
2,α
3),则
得
选A.
8. 设A是m×n矩阵,r(A)=n,则下列结论不正确的是______
- A.若AB=O,则B=O
- B.对任意矩阵B,有r(AB)=r(B)
- C.存在B,使得BA=E
- D.对任意矩阵B,有r(BA)=r(B)
A B C D
D
[解析] 因为r(A)=n,所以方程组AX=0只有零解,而由AB=O得B的列向量为方程组AX=0的解,故若AB=O,则B=O;
令BX=0,ABX=0为两个方程组,显然若BX=0,则ABX=0,反之,若ABX=0,因为r(A)=n,所以方程组AX=0只有零解,于是BX=0,即方程组BX=0与ABX=0为同解方程组,故r(AB)=r(B);
因为r(A)=n,所以A经过有限次初等行变换化为
,即存在可逆矩阵P使得
,令B=(E
n O)P,则BA=E;
令
B=(1 1 1),r(A)=1,但r(BA)=0≠r(B)=1,选D.
二、填空题1. 设f(x)为单调函数,且g(x)为其反函数,又设f(1)=2,
,f"(1)=1.则g"(2)=______.
[解析]
2. f(x)=x
4ln(1-x),当n>4时,f
(n)(0)=______.
3. 已知函数z=u(x,y)e
ax+by,且
,若z=z(x,y)满足方程
,则a=______,b=______.
a=1,b=1
[解析]
则
5.
[解析]
6. 设
则B*A=______.
[解析] 因为B=AE
12(2)E
13,所以|B|=|A||E
12(2)||E
13|=-3,
又因为B*=|B|B
-1,所以
,
故
三、解答题共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 令x=cost(0<t<π)将方程(1-x
2)y"-xy'+y=0化为y关于t的微分方程,并求满足y|
x=0=1,y'|
x=0=2的解.
[解]
代入原方程得
,该方程的通解为y=C
1cost+C
2sint,
原方程的通解为
将初始条件y|
x=0=1,y'|
x=0=2代入得C
1=2,C
2=1,故特解为
.
3. 求曲线y=-x
2+1上一点P(x
0,y
0)(其中x
0≠0),使过P点作抛物线的切线,此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小.
[解] 切线方程为
令y=0,得切线与x轴的交点为
,
令x=0,得切线与y轴的交点为
.
1)当x
0>0时,因为
,所以所围成图形面积为
令
因为
,所以当
时,所围成的面积最小,所求的点为
.
2)当x
0<0时,因为
,所以所围成的面积为
令
,得
,
因为
,所以当
时,所围成的面积最小,所求点为
.
4. 设f(x)在[0,a]上一阶连续可导,f(0)=0,在(0,a)内二阶可导且f"(x)>0.证明:
[解] 令
因为f"(x)>0,所以f'(x)单调增加,故f'(ξ)<f'(x),
于是φ"(x)>0(0<x<a).
由
得φ'(x)>0(0<x≤a),
再由
得φ(x)>0(0<x<a),
于是由φ(a)>0,故
5. 计算二重积分
,其中积分区域D={(x,y)|0≤x
2≤y≤x≤1}.
[解]
6. 设u=f(x
2+y
2,xz),z=z(x,y)由e
x+e
y=e
z确定,其中f二阶连续可偏导,求
.
[解] 由e
x+e
y=e
z得
再由u=f(x
2+y
2,xz)得
,
7. 求微分方程y"+y'-2y=xe
x+sin
2x的通解.
[解] 特征方程为λ
2+λ-2=0,
特征值为λ
1=-2,λ
2=1,y"+y'-2y=0的通解为y=C
1e
-2x+C
2e
x.
设y"+y'-2y=xe
x (*)
y"+y'-2y=sin
2x (**)
令(*)的特解为y
1(x)=(ax
2+bx)e
x,代入(*)得
由y"+y'-2y=sin
2x得
,
显然
有特解
对
,令其特解为y=Acos2x+Bsin2x,代入得
则
,所以原方程的通解为
8. 设
,讨论当a,b取何值时,方程组AX=b无解、有唯一解、有无数个解;有无数个解时求通解.
[解]
情形一:a≠0
当a≠0且a-b+1≠0时,方程组有唯一解;
当a≠0且a-b+1=0;方程组有无数个解,
由
方程组的通解为
情形二:a=0
当b≠1时,方程组无解;
当b=1时,方程组有无数个解,
由
方程组的通解为
设A为三阶实对称矩阵,若存在正交矩阵Q,使得且A*α=α.9. 求正交矩阵Q;
[解] 显然A的特征为λ
1=λ
2=-1,λ
3=2,A*的特征值为μ
1=μ
2=-2,μ
3=1.
因为α为A*的属于特征值μ
3=1的特征向量,所以α是A的属于特征值λ
3=2的特征向量,令α=α
3.
令A的属于特征值λ
1=λ
2=-1的特征向量为
,因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交,所以-x
1-x
2+x
3=0,则A的属于特征值λ
1=λ
2=-1的线性无关的特征向量为
令
10. 求矩阵A.
[解] 由