一、选择题1. 已知圆的方程为x
2+y
2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 将圆方程x
2+y
2-6x-8y=0化成标准方程为(x-3)
2+(y-4)
2=25,过点(3,5)的最长弦为AC=10,最短弦为BD=
,故四边形ABCD的面积
。
3. 一个四面体的所有棱长都为
,四个顶点在同一球面上,则球的表面积为______
A.3π
B.4π
C.
D.6π
A B C D
A
[解析] 显然该四面体是一个正四面体。在棱长为1的正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,由四个顶点A
1,B,C
1,D组成的四面体的所有棱长均为
,从而四面体的外接球就是正方体的外接球。由于正方体的体对角线长为
,所以球的半径为
,所以球的表面积为4π×
5. 等差数列{a
n}的前n项和记为S
n,若a
2+a
4+a
15的值是一个确定的常数,则数列{S
n}中也为常数的项是______
A B C D
C
[解析] 设a
2+a
4+a
15=p(常数),则3a
1+18d=p,即
。
6. 双曲线以一正方形两顶点为焦点,另两顶点在双曲线上,则其离心率为______
A.
B.
C.
D.1
A B C D
B
[解析] 根据题意建立如图所示的直角坐标系。设正方形的边长为2,则双曲线的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),且双曲线过点(1,-2)。∵双曲线上的点(1,-2)到两个焦点(-1,0)和(1,0)的距离分别是
和2,
。
10. 如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 在△CED中,根据图形可求得
。由余弦定理得cos∠CED=
。
12. 给出平面区域G,如图所示,其中A(5,3),B(2,1),C(1,5)。若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值为______
A.4
B.2
C.
D.
A B C D
A
[解析] ∵目标函数x=ax+y,∴y=-ax+z,∴目标函数值z是直线族y=-ax+z的截距。当直线族y=-ax+z的斜率与边界AC的斜率相等时,目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个,此时,
,即a=4。
二、填空题1. 已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|2a+b|=______。
[解析] ∵|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,∴|2a+b|
2=4a
2+4a·b+b
2=4+4×1×2×cos60°+4=4+4+4=12,
。
2. 双曲线
的右焦点到渐近线的距离是______。
[解析] 双曲线
的右焦点(3,0),渐近线方程为
,故右焦点到渐近线的距离为
3. 已知等腰三角形腰上的中线长为
,则该三角形的面积的最大值是______。
2
[解析] 根据题意画出图形,如图所示。设AB=AC=2a。由D是AB的中点,得到AD=DB=a。在△ADC中,根据余弦定理得
,解得a
2=
。设△ADC的面积为S,则
,其中
,故有
,解得S≤1,则△ABC的面积的最大值是2S=2。
4. 已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,试求x的取值范围______。
[解析] 设锐角三角形的边x对应的角为θ。当x为最大边时,由余弦定理可得应有cosθ=
,解得
。当x不是最大边时,则4为最大边,设4所对的角α,由余弦定理可知应有
,解得
。综上可得
。