单项选择题9. 线性无关的函数y
1(x),y
2(x),y
3(x)都是二阶非齐线性方程y"+a
1(x)y'+a
2(x)y=f(x)的解。C
1,C
2是任意常数,则该方程的通解是
。
- A.y=C1y1+C2y2+y3
- B.y=C1y1+C2y2+(C1+C2)y3
- C.y=C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3
- D.y=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3
A B C D
D
选项(D)变形为
y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3
y1-y3,y2-y3是对应齐次方程的解,且它们线性无关,y3是非齐方程的一个特解,由线性方程解的结构可见(D)是通解
10. 设区域D:x
2+y
2≤1,则下列积分不正确的是
。
A B C D
D
[解析] 由对称性,前三个都为0,而
,故选(D)。
[解题关键] 在于记住二重积分的对称性:区域D关于x轴对称,f(x,y)关于y为奇函数,则
,区域D关于y轴对称,f(x,y)关于x为奇函数,则
。
12. 微分方程
的通解是
。
- A.x2+y2=C
- B.x2-y2=Cx
- C.x2+xy=C
- D.y2-x2=C
A B C D
D
是可分离变量方程,ydy=xdx两边积分
=
,通解为y
2-x
2=c
13. f(x)=x|x(x-1)(x-2)(x-3)|的可导的点是
。
A B C D
A
由导数定义
,x
0=0时,f'(0)=
,x
0=1时,
·
不存在,从而f(x)在x=1处不可导,同理f(x)在x=2,x=3处也不可导
20. 设
,则A的转置矩阵A
T为
。
A B C D
C
将A的第i列变为A
T的第i行即为A
T(i=1,2)从而
21. 设A为4阶方阵,|A|-a≠0,则下列结论不正确的是
。
- A.|2A|=16a
- B.|-2A|=16a
- C.|A*|=a3
- D.|A*|=a4
A B C D
D
由|λA|=λ
n|A|,可见(A)、(B)正确。由|A|≠0,A可逆,A
-1=
,|A
*|=a
3,故(C)正确而(D)不正确
25. 设A,B为两个事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,则有
。
(A) 当A
B时,P(AB)最小,且P(AB)=0.6
(B)当A
B时,P(AB)最小,且P(AB)=0.7
(C)当A∪B=S时,P(AB)最大,且P(AB)=0.1
(D)当A∪B=S时,P(AB)最大,且P(AB)=0.2
A B C D
A
由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)或P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)
当A∪B=B,即A
B时,P(A∪B)最小,从而P(AB)最大,此时
P(AB)=0.6+0.7-0.7=0.6
从而(A)正确而(B)不正确。
当A∪B=S时,P(A∪B)最大,从而P(AB)最小,此时
P(AB)=0.6+0.7-1=0.3
从而(C)、(D)不正确
31. 设区域V:x
2+y
2+z
2≤R
2,则
=
。
A B C D
D
[解析] (A)、(B)、(C)不对,(D)是在球面坐标系下的三次积分,故选(D)。
[解题关键] 在于记住在直角坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下如何将三重积分化为三次积分。
32. 设有向量组α
1=(2,1,4,3)
T,α
2=(-1,1,-6,6)
T,α
3=(-1,-2,2,-9)
T,α
4=(1,1,-2,7)
T,α
5=(2,4,4,9)
T,则向量组α
1,α
2,α
3,α
4,α
5的秩是
。
A B C D
C
由向量组构成一个矩阵
对A施行初等行变换,变成阶梯形矩阵为
其中不全为零的行数即是向量组的秩,从而r(A)=3,即向量组的秩为3
35. 二次型
的标准型为
。
A B C D
C
f对应的矩阵
,A的特征值为λ
1=2,λ
2=4,故二次型
40. 设X
1,X
2,…,X
n是总体X的一个样本,则下列结论不正确的是
。
(A) 样本均值
是总体均值μ=E(X)的无偏估计量
(B) 样本方差
是总体方差σ
2的无偏估计量
(C) 样本方差
是总体方差σ
2的无偏估计量
(D) 样本K阶矩
是总体K阶矩μ
k的无偏估计量
A B C D
B
由于
因此(A)、(C)、(D)正确,而(B)不正确
46. 设X在(1,6)上服从均匀分布,则方程t
2+Xt+1=0有实根的概率为
。
A B C D
D
X的密度函数为
方程t
2+Xt+1=0有实根的充要条件为x
2-4≥0,即X
2≥4,故所求概率为
47. 三人独立地破译一份密码,各自译出的概率分别为
,则三人中至少有一人能译出密码的概率是
。
A B C D
C
[解析] 设A分别表示第i个人译出密码(i=1,2,3),所求概率
=1-(1-P(A
2))(1-P(A
2))(1-P(A
3))=1-0.4=0.6,故选(C)。
[解题关键] 在于会利用事件的独立性,如本例A
1,A
2,A
3相互独立,应有
P(A
1A
2A
3)=P(A
1)P(A
2)P(A
3),也有
。