一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的．)1. 设向量组α
1，α
2，α
3线性无关，若b
1=3α
1-α
2+α
3，b
2=2α
1+α
2-α
3，b
3=α
1+tα
2+2α
3线性相关，则t应满足的条件是______
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点为向量组线性相关的条件.
[解析] 向量组b
1，b
2，b
3线性相关，则
=5(t+2)=0，故t=-2.
3. 设矩阵
，则在实数域上与A合同的矩阵为______
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[考点] 本题主要考查的知识点为合同矩阵的判定．
[解析] 矩阵A是实对称矩阵，特征值为-1、3，故A合同于对角矩阵
，而选项中各个对称矩阵与对角矩阵B合同的只有选项D．
二、填空题1. 已知二阶方阵A的特征值为λ
1=2，λ
2=-3，则det(A
2)=______.
36
[考点] 本题主要考查的知识点为矩阵特征值的性质．
[解析] 由特征值的性质知A2的全部特征值为4，9，故det(A2)=4×9=36.
2. 设
是三元线性方程组Ax=b(b≠0)的解，且r(A)=2，则Ax=b的通解为______.
[考点] 本题主要考查的知识点为非齐次线性方程组解的结构.
[解析] 因为r(A)=2，其基础解系所含解向量的个数是1，而ξ=α2-α1是它的导出组Ax=0的解，且α1，α2都可以作为特解，故本题中非齐次线性方程组的通解可以是α1+k(α2-α1)或者是α2+k(α2-α1)．
3. 已知行列式
，则 A
11+A
12+A
13+A
14=______.
0
[考点] 本题主要考查的知识点为行列式按某行(列)展开的性质．
[解析] A
11+A
12+A
13+A
14=1×A
11+1×A
12+1×A
13+1×A
14=
4. 设矩阵A
4×3≠0，但AB=0，其中
，则矩阵A的秩r(A)=______.
1
[考点] 本题主要考查的知识点为齐次线性方程组解的结构．
[解析] 因AB=0，所以B的两个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，而B的两个列向量是线性无关的，故Ax=0的基础解系中至少含2个向量，而基础解系中所含向量的个数为n-r(A)=3-r(A)，所以3-r(A)≥2，即r(A)≤1，另外A
4×3≠0
r(A)≥1，故r(A)=1．
5. 设
，当t=______时，r(A)=2.
-4
[考点] 本题主要考查的知识点为矩阵的秩．
[解析]
故当t=-4时，r(A)=2．
6. 已知矩阵
，则r(A)=______.
2
[考点] 本题主要考查的知识点为矩阵的秩.
[解析]
，故r(A)=2．
7. 设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1，2，…，n，则当t______时，tE-A是正定的.
t＞n
[考点] 本题主要考查的知识点为矩阵正定的条件.
[解析] tE-A的特征值为t-1，t-2，…，t-n，若tE-A是正定的，则t-1＞0，t-2＞0，…，t-n＞0，所以当t＞n时，tE-A是正定的．
8. A、B为三阶矩阵，|A|=-1，|B|=2，则|2(A
TB
-1)
2|=______.
2
[考点] 本题主要考查的知识点为矩阵的运算性质与行列式的性质．
[解析] |2(ATB-1)2|=23|(ATB-1)2|=23|ATB-1ATB-1|=23|ATB-1||ATB-1|=23|A|2·(|B-1|)2=23(|B|)-2=2.
9. 若n阶实矩阵A是正交矩阵，即A
TA=E，则|A|=______.
1或-1
[考点] 本题主要考查的知识点为正交矩阵的定义.
[解析] A
TA=E
|A
TA|=|A
T||A|=|A|
2=1
|A|=1或-1．
10. 已知
，则A
-1=______.
[考点] 本题主要考查的知识点为分块矩阵的逆矩阵.
[解析]
三、计算题(每小题9分，共63分)1. 已知二次型
，用正交变换化f(x
1，x
2，x
3)为标准形，并求出其正交变换矩阵Q.
4x
1x
2-4x
1x
3-8x
2x
3，
f的矩阵
A的特征多项式φ(λ)=(λ-1)
2(λ-10)，
于是得到A的特征值为λ
1=λ
2=1，λ
3=10.
对于特征值λ
1=λ
2=1，由方程组(E-A)x=0，
得到属于特征值λ
1=λ
2=1的两个正交的特征向量为
单位化得
对于特征值λ
3=10，由方程组(10E-A)x=0，得到属于特征值λ
3=10的特征向量为
，单位化得
令
则Q为正交矩阵，且
于是作正交变换x=Qy，则有
[考点] 本题主要考查的知识点为用正交变换化二次型为标准形．
2. 计算行列式
D=
=1+a
1+a
2+a
3.
[考点] 本题主要考查的知识点为行列式的性质.
3. 设A，B满足ABA=2BA-E，其中
，求B.
将ABA=2BA-E两端右乘A
-1得AB=2B-A
-1，所以(A-2E)B=-A
-1．
即有B=-(A-2E)
-1A
-1
[考点] 本题主要考查的知识点为求解矩阵等式．
4. 已知
，求A
21+A
22+A
23+A
24.
A
21+A
22+A
23+A
24=
[考点] 本题主要考查的知识点为行列式按一行(或一列)展开的定理．
5. λ为何值时，线性方程组
，有唯一解，无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解.
线性方程组的增广矩阵
所以，当λ≠1且λ≠-2时，r(A)=r(A，b)=3，
方程组有唯一解；
当λ=-2时，r(A)=2，r(A，b)=3，方程组无解；
当λ=1时，r(A)=r(A，b)=1，方程组有无穷多组解.
当方程组有无穷多解时，同解方程组为
x
1=-x
2-x
3-2，
令x
2=x
3=0，得x
1=-2，从而得到方程组的一个特解
原方程组的导出组的同解方程组为
x
1=-x
2-x
3，
设自由未知量分别取值
得导出组的基础解系为
所以原方程组的通解为
(c
1，c
2为任意常数)．
[考点] 本题主要考查的知识点为非齐次线性方程组解的判定．
6. 求矩阵
的秩和列向量组的极大无关组，并用其表示向量组中其余向量.
设A=(α
1，α
2，α
3，α
4)，
所以r(A)=3，α
1，α
2，α
3为向量组的一个极大无关组，且α
4=α
1-α
2+α
3．
[考点] 本题主要考查的知识点为矩阵的秩与向量组的极大无关组．
7. 设
，求A的特征值及其对应的特征向量.
矩阵A的特征多项式为
=(λ-1)
3=0，
得特征值λ
1=λ
2=λ
3=1.
对于特征值λ
1=λ
2=λ
3=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0．即
求得基础解系
所以矩阵A属于特征值1的全部特征向量为
，其中k
1，k
2是不全为零的任意常数．
[考点] 本题主要考查的知识点为矩阵的特征值与特征向量.
四、证明题(本题7分)1. 设β
1=α
1，β
2=α
1+α
2，β
3=α
1+α
2+α
3，β
4=α
1+α
2+α
3+α
4，且向量组α1，α2，α3，α4线性无关，证明：向量组β
1，β
2，β
3，β
4也线性无关.
设存在一组数k
1，k
2，k
3，k
4，使k
1β
1+k
2β
2+k
3β
3+k
4β
4=0，
则k
1α
1+k
2(α
1+α
2)+k
3(α
1+α
2+α
3)+k
4(α
1+α
2+α
3+α
4)=0，
即(k
1+k
2+k
3+k
4)α
1+(k
2+k
3+k
4)α
2+(k
3+k
4)α
3+k
4α
4=0，
又因为α
1，α
2，α
3，α
4线性无关，故
从而得，k
1=k
2=k
3=k
4=0，所以向量组β
1，β
2，β
3，β
4也线性无关．
[考点] 本题主要考查的知识点为向量组线性无关的判断.
仅有零解，则______
=2λ(λ-1)≠0，即λ≠0且λ≠1．
深色：已答题 浅色：未答题