D

[解析] 因为-1＜x-1≤1，所以0＜x≤2，应选D．

A

[解析] 令
   
   又f(x)为奇函数，所以是偶函数，应选A．

C

[解析] 令t=x+1，则x=t-1，f(x+1)=f(t)=(t-1)²，则f(x)=(x-1)²，应选C．

D

[解析]
   所以e^2x-1与sin3x是同阶非等价无穷小．故应选D．

A

[解析] 故应选A．

C

[解析] 由题可知，故f(3)=4，因此排除B、D选项，再将A、C代入原极限等式，可知C正确．

C

[解析] 根据连续的定义可知

C

[解析] 因此函数在x=0处左右极限存在但不相等，故x=0为跳跃间断点，故选C．

B

[解析] 因为f(-x)=-f(x)两边同时对x求导得f'(-x)=f'(x)，所以f'(x)为偶函数，故应选B．

B

[解析] 因为故应选B．

A

[解析] 故应选A．

C

[解析] 因为所以y=1为水平渐近线，无垂直渐近线，故应选C．

D

[解析] 令f(x)=x⁴-x-1，则f(1)=1-1-1=-1＜0，f(2)=2⁴-2-1=13＞0，由零点定理可知至少存在一个ξ∈(1，2)，使f(ξ)=0，故应选D．

A

[解析] 令y"=0，得x=e²，当y"＞0时，1＜x＜e²，故凹区间为(1，e²)，故应选A．

B

[解析] 因为定积分的值为常数，常数的导数等于0，所以故应选B．

B

[解析] 根据不定积分的性质知d∫f'(x)dx=f'(x)dx，故应选B．

C

[解析] 验证四个答案中哪个函数的导数是sin2x，(-cos²x)'=-2cosx·(cosx)'=2cosxsinx-sin2x．故应选C．

D

[解析] 由定积分的几何意义可知，区域D的面积故应选D．

B

[解析]
   故应选B．

C

[解析] 因为e^costsint是以2π为周期的奇函数，
   所以故应选C．

C

[解析] 根据通解的概念首先排除B与D，现在对A、C进行验证后A不正确，故应选C．

D

[解析] 因为λ=3是特征方程的一重特征根，p(x)为一次多项式，所以特解应设为y^*=x(ax+b)e^3x，故应选D．

A

[解析] 由于a⊥6，故a·b=b·a=0，(a+b)·(a+2b)=a²+2b²，故应选A．

A

[解析] 因为
   所以故应选A．

C

[解析] 偏导存在不一定连续，故应选C．

D

[解析] 极坐标积分区域为其积分区域的边界方程为r=acosθ，即x²+y²=ax，a＞0，故应选D．

A

[解析] 根据二重积分的对称性知积分值为0，故应选A．

D

[解析] 因为所以此曲线积分与路径无关，闭曲线积分为0，故应选D．

D

[解析] 由正项级数收敛的基本准则知，正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界，故应选D．

B

[解析] 令x-1=t，问题化为级数在t=-2处收敛，判断t=1处是否收敛的问题．根据阿贝尔定理可知，级数在t=1处绝对收敛，故应选B．

2

[解析] 由f(x)的表达式可知，当x=0时，f(0)=2.

[解析]

0

[解析]

[解析] 对两边求导得
   2f(2x-1)=e^-x-xe^-x=(1-x)e^-x，即
   设t=2x-1则代入得
   所以

x²e^x-2xe^x+2e^x+C

[解析]

-12

[解析] 设f(x)的平均值为f(ξ)，则因此

x²+y+5

[解析] f(x+y，xy)=x²+3xy+y²+5=(x+y)²+xy+5，
   所以f(x，y)=x²+y+5.

椭球面

[解析] 空间直角坐标系下表示的曲面是椭球面．

二

[解析] 由微分方程的基本概念可知(y")³-xy'+cosy=x²+1是二阶微分方程．

e-1

[解析] 因为
   取x=1得所以

两边同取自然对数，得
   
   两边分别对x求导，得
   

根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即
   
   故所求平面的方程为
   -16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0，
   即16x-14y-11z-65=0.

解方程组
   求得驻点为
   f_xx=e^2x(4x+4y²+8y+4)，f_xy=e^2x(4y+4)，f_yy=2e^2x，
   
   由于B₂-AC=-4e²＜0，且A＞0，
   所以为极小值点，函数的极小值为

设所求点为M(x₀，y₀，z₀)，曲面在该点处的法向量为n={y₀，x₀，-1}，平面的法向量为{1，3，1}，
   按题意，有求得x₀=-3，y₀=-1，
   z₀=x₀y₀=3，所以所求点为(-3，-1，3)，
   法线方程为

两边分别对x求导，得
   2f(x)-x=f'(x)且有f(0)=1，
   即y'-2y=-x，y(0)=1，
   
   将y(0)=1代入得
   所以所求函数为
   即

则收敛半径
   因此|x-1|＜3，即-2＜x＜4，当x=-2时，幂级数化为收敛，当x=4时，级数化为发散，所以幂级数的收敛域为[-2，4)．

平面图形D如图所示．
   
   取x为积分变量，且x∈[0，1]∪[1，2]．
   (1)平面图形D的面积为
   
   (2)平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
   

设交线上的点为M(x，y，z)，它到xOy面上距离的平方为z²，问题化为求函数z²在约束条件和x²+y2=1下的最小值问题：
   作拉格朗日函数
   
   令又由约束条件，有
   解此方程组，得和要使z²最小，显然应取因此就是所求的点．

[证明] 设F(x)=f(x)e^x2，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
   F(a)=f(a)e^a2=0，F(b)=f(b)e^b2=0，即F(a)=F(b)，
   所以至少存在一点ξ∈(a，b)，使F'(ξ)=0，
   即F'(ξ)=f'(ξ)e^ξ2+f(ξ)e^ξ2·2ξ=0，
   又e^ξ2≠0，故f'(ξ)+2ξf(ξ)=0.