第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 当x→0时,下列变量是无穷小量的为______.
A.
B.2
x C.sinx
D.ln(x+e)
A B C D
C
[考点] 本题考查了无穷小量的知识点.
[解析]
3. 若函数
在x=0处连续,则常数a=______.
A.0
B.
C.1
D.2
A B C D
B
[考点] 本题考查了函数在一点处连续的知识点.
[解析] 因为函数f(x)在x=0处连续,则
6. 方程x
2+2y
2+3z
2=1表示的二次曲面是______.
A B C D
D
[考点] 本题考查了二次曲面的知识点.
[解析] 可将原方程化为
,所以原方程表示的是椭球面.
8. 设函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)>0,则______.
A.
B.
C.
D.
的符号无法确定
A B C D
A
[考点] 本题考查了定积分性质的知识点.
[解析] 若在区间[a,b]上f(x)>0,则定积分
的值为由曲线y=f(x),直线x=a,x=b,y=0所围成图形的面积,所以
.
10. 已知a为常数,则级数
______.
- A.发散
- B.条件收敛
- C.绝对收敛
- D.收敛性与a的取值有关
A B C D
B
[考点] 本题考查了级数的收敛性的知识点.
[解析] n→∞时,
因为
发散,所以
发散.由莱布尼茨判别法知,
则
收敛.故
条件收敛.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题2. 曲线
的水平渐近线方程为______.
[考点] 本题考查了水平渐近线方程的知识点.
[解析]
所求曲线的水平渐近线方程为
3. 若函数f(x)满足f'(1)=2,
1
[考点] 本题考查了一阶导数的知识点.
[解析]
4. 设函数
则f'(x)=______.
[考点] 本题考查了一阶导数的性质的知识点.
[解析] 因为
5.
2
[考点] 本题考查了函数的定积分的知识点.
[解析]
6.
[考点] 本题考查了反常积分的知识点.
[解析]
7. 已知曲线y=x
2+x-2的切线l斜率为3,则l的方程为______.
3x-y-3=0
[考点] 本题考查了切线的知识点.
[解析] 曲线上某一点的切线斜率为k=y'=2x+1,因为该切线的斜率为3,即k=2x+1=3,
即切线过点(1,0),所求切线为y=3(x-1),即3x-y-3=0.
8. 设二元函数z=ln(x
2+y),
[考点] 本题考查了二元函数偏导数的知识点.
[解析] z=ln(x
2+y),
9. 设f(x)为连续函数,
f(x)
[考点] 本题考查了导数的原函数的知识点.
[解析]
10. 幂级数
的收敛半径为______.
3
[考点] 本题考查了幂级数的收敛半径的知识点.
[解析]
故幂级数
的收敛半径为
三、解答题(共70分.解答应写出推理、演算步骤)
1.
2.
3. 已知sinx是f(x)的一个原函数,求∫xf'(x)dx.
因为sinx是f(x)的一个原函数,所以
4.
设
,则x=t
2,dx=2tdt,0≤t≤2.
5. 设二元函数z=x
2y
2+x-y+1,
因为z=x
2y
2+x-y+1,所以
6. 计算二重积分
其中区域D={(x,y)|x
2+y
2≤4}.
D可表示为0≤0≤2π,0≤r≤2.
7. 求微分方程
的通解.
ydy=x
2dx,
两边同时积分,
3y
2=2x
3+C
1.
8. 用铁皮做一个容积为V的圆柱形有盖桶,证明当圆柱的高等于底面直径时,所使用的铁皮面积最小.
设圆柱形的底面半径为r,高为h,则V=πr
2h.
所用铁皮面积S=2πr
2+2πrh,
于是由实际问题得,S存在最小值,即当圆柱的高等于底面直径时,所使用的铁皮面积最小.