C

[考点] 本题主要考查的知识点为函数的定义域．
   [解析] 由题意知故选C．

D

[考点] 本题主要考查的知识点为函数的极值．
   [解析] 函数y=x²的图形，如下图所示，我们可以由图形直接观察出A、B、C正确，D选项错误．
   

D

[考点] 本题主要考查的知识点为交换积分顺序．
   [解析] 由二重积分可知，积分区域D：0＜x＜1，，如下图所示，故原积分
   

A

[考点] 本题主要考查的知识点为微分方程的通解．
   [解析] y^"=e^x，两边同时积分y^'=e^x+C₁，两边再同时积分y=e^x+C₁x+C₂．

B

[考点] 本题主要考查的知识点为p级数．
   [解析] 无穷级数，当-p＞1，即p＜-1时收敛，故选B．

A

[考点] 本题主要考查的知识点为平面方程的求法及特殊位置的平面．
   [解析] 因为所求的平面平行于Oyz坐标面，故设其方程为Ax+D=0，又因为该平面过点(1，4，-1)，所以A+D=0，即A=-D，因此所求平面方程为x-1=0．

C

[考点] 本题主要考查的知识点为函数的一阶偏导数．
   [解析] 函数z=e^xy(x²+y-1)，则ye^xy(x²+y-1)+e^xy(2x)=e^xy(X²y+y²-y)+2xe^xy=e^xy(x²y+2x y²-y)．

A

[考点] 本题主要考查的知识点为面积的曲面积分．
   [解析]
   

B

[考点] 本题主要考查的知识点为微分方程的特解．
   [解析] 将y₁=e^x，y₂=x²代入微分方程y^'+P(-x)y=Q(x)得
   解方程组得

D

[考点] 本题主要考查的知识点为无穷级数的和．
   [解析]
   
   故所求无穷级数的和为．

解：y)^'=ye^xyf₁+f₂，xe^xyf₁+f₂．

[考点] 本题主要考查的知识点为复合函数一阶求导．

解：gardf(-1，1，2)={2，0，-2}．

[考点] 本题主要考查的知识点为函数的梯度．

解：

[考点] 本题主要考查的知识点为函数的高阶偏导数．

解：令F(x，y，z)=2x²+
   故所求切平面方程为4(x-1)+2(y-1)-(z-3)=0．

[考点] 本题主要考查的知识点为曲面的切平面方程．

解：积分区域D，如下图所示，于是
   
   

[考点] 本题主要考查的知识点为二重积分的计算．

解：积分区域Ω，如下图所示．Ω在Oxy坐标面上的投影域为D_xy：x²+y²≤1，
   

[考点] 本题主要考查的知识点为柱坐标下三重积分的计算．

解：∫_L(x²+y²+z²)ds
   
   

[考点] 本题主要考查的知识点为对弧长的曲线积分．

解：y^'=e^x-y，
   即e^ydy=e^xdx
   两边同时积分得e^y=e^x+C，
   将初始条件y(0)=1代入得C=e-1，
   故微分方程的特解为e^y-e^x-e=-1．

[考点] 本题主要考查的知识点为可分离变量微分方程求特解．

解：由于当x＞0时，sinx＜x，所以
   令，又因为是等比级数，其中，故为收敛级数．
   由比较判别法可知收敛．

[考点] 本题主要考查的知识点为无穷级数的敛散性(比较判别法)．

解：
   

[考点] 本题主要考查的知识点为傅里叶系数．

设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则S=xy，x+y=2，
   构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-2)，
   
   可得驻点x=1，y=1，λ=-1．
   由于驻点唯一，且实际问题存在最大值，故(1，1)
   是问题的最大值点，最大值为S=1．

[考点] 本题主要考查的知识点为条件极值．

设所求曲面∑的面积为S，∑在Oxy面上投影区域为D：x+y≤2，则有
   ∑：z=4-2x-2y，(x，y)∈D，故
   

[考点] 本题主要考查的知识点为重积分的应用．