一、单项选择题3. 已知点P(a+1，2a-3)关于x轴的对称称点在第一象限，则a的取值范围是______
A．a＜-1
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 点P(a+1，2a-3)关于x轴的对称点的坐标为(a+1，-2a+3)．∵这个对称点在第一象限，
解这个不等式组，得
5. 如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(-2，3)，△ABC向右平移4个单位得到△A
1B
1C
1，再作△A
1B
1C
1关于x轴的对称图形△A
2B
2C
2，则顶点A
2的坐标是______
- A.(-3，2)
- B.(2，-3)
- C.(1，-2)
- D.(3，-1)
A B C D
B
[解析] 把△ABC向右平移4个单位长度，则点A的横坐标为-2+4=2，纵坐标不变，即A1(2，3)；作△A1B1C1关于x轴的对称图形，则点A1的横坐标不变，纵坐标为3×(-1)=-3，即A2(2，-3)．
10. 将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了______
A B C D
B
[解析] 每个小正方体的棱长为
，表面积为
所以所有小正方体的表面积和为
所以表面积增加了18a
2-6a
2=12a
2，所以选B．
11. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为______
A．
B．
C．
D．
A B C D
A
[解析] 设底面半径为r，则侧面积为4π
2r
2，表面积为4π
2r
2+2πr
2，表面积与侧面积的比为
13. 一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比______
- A.2:3:5
- B.2:3:4
- C.3:5:8
- D.4:6:9
A B C D
D
[解析] 作出轴截面，圆内切于一个正方形和一个等边三角形，易知正方形的边长等于圆的直径，圆心是等边三角形的中心，设球的半径为r，则外切圆柱的底面圆的半径为r，高为2r，外切圆锥的底面圆的半径为
高为3r，所以球的体积
外切圆柱的体积V
2=πr
2×2r=2πr
3，外切等边圆锥的体积
所以
所以选D．
14. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是______
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[解析] 因为截去的这8个三棱锥的体积相等，都为
所以余下的多面体的体积为
所以选D．
22. 以下条件中能够推出平面α//平面β的个数为______
①平面α内有两条直线a，b，且a//β，b//β；
②平面α内有无数条直线与平面β平行；
③平面α内不存在与平面β有公共点的直线；
④平面α内不共线的三点到平面β的距离相等；
⑤平面α内任意一条直线平行于平面β．
A B C D
B
[解析] 根据面面平行的判定定理，①中α内的直线a，b可以是平行的，所以错误；②中的直线可以是平面α中的平行直线，所以错误；③即说明两平面没有公共点，所以正确；④三点可以在平面β的两侧，所以错误；⑤中任意的直线当然存在相交直线，所以选B．
26. 已知点A(-3，1，5)和点B(4，3，1)，则线段AB的中点坐标是______
A．
B．
C．(-12，3，5)
D．
A B C D
B
[解析] 设A，B的中点C(x，y，z)，则
所以
所以选B．
二、填空题1. 正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为______度．
90
[解析] ∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，∴正方形绕着它的中心旋转90°的整教倍后，就能与它自身重合，因此，这个角至少是90度．
2. 如图，将等边三角形ABC沿BC方向平移得到△A
1B
1C
1．
则BB
1=______．
1
[解析] 如图，过P作PD⊥B
1C于点D．∵将等边三角形ABC沿BC方向平移得到△A
1B
1C
1，∴∠PB
1C=∠ACB=60°，∴∠CPB
1=60°，∴△PCB
1是等边三角形．设等边三角形PCB
1的边长是2a，则B1
D=CD=a，由勾股定理得：PD=
．
3. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α(0°＜α＜180°)，则α=______°．
90
[解析] 以正方形ABCD的中心为旋转中心，△ABE旋转到△BCF，恰好旋转了90°．
4. 一个底面边长为
，侧棱长为
的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为______．
[解析] 球的直径等于正六棱柱的体对角线长，设球的半径为R，由已知可得
所以球的体积为
5. 在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1的顶点A(3，-1，2)，其中心为M(0，1，2)，则该正方体的棱长为______．
[解析] 设该正方体的棱长为a，因为
为正方体体对角线长的一半，所以
6. 动点M(x，y，z)在面z=0与面x+y=0的交线上，定点A(1，1，1)，则|AM|的最小值为______．
[解析] 由题意设点M(x，-x，0)，则
7. 已知平行四边形ABCD的顶点A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C(3，7，-5)，则顶点D的坐标是______．
D(5，13，-3)
[解析] 因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC的中点为
即
设点D(x，y，z)则点E是BD的中点，所以
所以D(5，13，-3)．
三、简答题1. 有一根旗杆AB高8m，它的顶端A处挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并分别把它的下端放在地面上的两点C，D(B，C，D三点不共线)处，如果这两点和旗杆脚B处的距离都是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么?
如图，在△ABC和△ABD中，
因为AB=8m，BC=BD=6m，AC=AD=10m，
所以AB
2+BC
2=6
2+8
2=10
2=AC
2，AB
2+BD
2=6
2+8
2=10
2=AD
2，
所以∠ABC=∠ABD=90°，即AB⊥BC，AB⊥BD，又因为B，C，D不共线，
所以AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．
2. 如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且
求证：四边形EFGH是梯形．
∵E，H分别是边AB，AD的中点，
又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．
3. 证明：MN//平面A'ACC'；
如图所示，连接AB'，AC'，因为三棱柱ABC—A'B'C'为直三棱柱，所以四边形ABB'A'为矩形，
又M为A'B的中点，所以M为AB'的中点．
又N为B'C'的中点，所以MN//AC'．
因为
平面A'ACC'，
平面A'ACC'，
所以MN//平面A'ACC'．
4. 若二面角A'—MN—C为直二面角，求λ的值．
以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA'为x轴，y轴，z轴建立如上图所示的空间直角坐标系Axyz．设AA'=1，则AB=AC=λ，
于是A(0，0，0)，B(λ，0，0)，C(0，λ，0)，A'(0，0，1)，B'(λ，0，1)，C'(0，λ，1)，
所以
设m=(x
1，y
1，z
1)是平面A'MN的一个法向量，
由
可取m=(1，-1，λ)．
设n=(x
2，y
2，z
2)是平面MNC的一个法向量，
由
可取n=(-3，-1，λ)．
因为A'—MN—C为直二面角，所以m·n=0，即-3+1+λ
2=0，解得
同理
AD=BC，所以EF=HE，所以四边形EFGH是菱形．
的情况，所以选C．
深色：已答题 浅色：未答题