一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的．)1. 设
，M
ij为元素a
ij(i，j=1，2)的余子式，若M
11=2，M
12=3，M
21=4，M
22=5，则A=______
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 由于M
11=a
22=2，M
12=a
21=3，M
21=a
12=4，M
22=a
11=5，因此
2. 设A为2阶矩阵，若已知
，则A
*=______
A．
B．
C．
D．
A B C D
A
[解析]
二、填空题1. 行列式
=______.
0
[解析]
2. 设矩阵
，B=(1，0)，则AB=______.
3. 设A为2阶矩阵，若存在矩阵
，使得
，则A=______.
[解析]
4. 设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|-2A
-1|=______.
5. 向量组α
1=(2，0，2，1)
T，α
2=(2，1，-2，4)
T，α
3=(0，1，-4，3)
T的秩为______.
2
[解析]
，因此向量组的秩为2.
6. 齐次线性方程组
的基础解系所含解向量的个数为______.
7. 若非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为
，则方程组的通解是______.
[解析] 由题意可知方程组的特解为
，而齐次方程组的同解方程组为
令x
2=-2，则x
3=1，因此对应齐次方程组的基础解系为
，故方程组的通解为
(其中k为任意常数).
8. 设A为2阶矩阵，且|A|=8，若A的一个特征值为2，则A的另一个特征值为______.
4
[解析] 设A的另一个特征值为λ，则有|A|=2λ=8，故λ=4.
9. 若矩阵
可与对角矩阵相似，则数a=______.
10. 二次型f(x
1，x
2)=2x
1x
2的规范形为______.
[解析]
三、计算题(每小题9分，共63分)1. 计算行列式
解：
2. 设A为3阶矩阵，且已知|A|=2，求行列式
的值.
解：由于|A|=2≠0，则A为3阶可逆矩阵，
由此推出
3. 设
，矩阵X满足关系式AX=A
T-2X，求X.
解：由AX=A
T-2X可得(A+2E)X=A
T.
4. 求向量组α
1=(1，2，1，4)
T，α
2=(0，3，-1，-3)
T，α
3=(1，-2，8，8)
T，α
4=(2，3，8，9)
T的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.
解：
因此向量组的秩为3，一个极大无关组是α
1，α
2，α
3.
α
4=α
1+α
2+α
3.
(答案不唯一)
5. 确定当数a为何值时，线性方程组
有无穷多解，并求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换：
由非齐次线性方程组有解的条件，当a-3=0，即a=3时，
该方程组有无穷多解.
此时，同解方程组为
由此得非齐次线性方程组的特解η
*=(1，-1，0，0)
T，
导出组的一个基础解系ξ
1=(0，1，1，0)
T，ξ
2=(0，1，0，1)
T，
从而，非齐次线性方程组的通解为
x=k
1ξ
1+k
2ξ
2+η
*，其中k
1，k
2为任意常数.
6. 已知矩阵
可以对角化，λ=2为A的2重特征值，求x，y的值.
解：由于矩阵A可以对角化，且λ=2为A的2重特征值，
故必有r(2E-A)=1，
由此推出-2+x=0，-y-x=0，即x=2，y=-2.
7. 设二次型
，求正交变换x=Py，将二次型化为标准形.
解：二次型f的矩阵
得A的特征值λ
1=λ
2=1，λ
3=-1，
对应于λ
1=λ
2=1的两个线性无关的特征向量为
四、证明题(本题7分)1. 设3阶矩阵A、B满足关系式2AB-A-2B-O. 证明A-E可逆.
证明：由2AB-A-2B=O，得2AB-A-2B+E=E，
整理为A(2B-E)-(2B-E)=E，
即(A-E)(2B-E)=E，因此A-E可逆.
有非零解，则k的值为______
=3-3k+1+k=4-2k=0，解得k=2.
的正惯性指数是______
深色：已答题 浅色：未答题