[解] 对于变截面梁来说，由于AC、CB段截面的极限弯矩不相同，故塑性铰不仅可能出现在截面A处和集中力作用截面D处，也可能出现在截面突变处，即截面C。
   用静力法求解具体步骤如下：①先画出弹性受力状态下的弯矩图大致形状，本题只要出现两个塑性铰结构就破坏；②假设截面A、D出现塑性铰，则这两个截面的最终弯矩值为M_u1，如图(b)所示，由分段叠加法的原理列出D截面的弯矩计算式(式中等号左边为截面D极限弯矩，等号右边第二项为AB两点弯矩图的连线在D点的值，等号右边第一项为F_P在简支梁上引起的弯矩)，解方程得；③假设截面A、C出现塑性铰，如图(c)所示，则截面C最终弯矩为M_u2，按几何比例表示出截面D弯矩为3M_u2/2，仍可由分段叠加法列出截面D的弯矩计算式，解方程得F_Pu2=5kN；④比较两次计算的结果，较小值为极限荷载，即F_Pu={F_Pu1，F_Pu2}_min=5kN。
   

[解] 当A、B、D三处同时出现塑性铰时，极限状态的弯矩图如图(b)所示，截面A、B、D的弯矩都达到极限值M_u，由相似三角形的几何关系可以看出x=0.5a。再由分段叠加法的原理列出截面D的弯矩关系式。
   

[解] 本例为静定结构，只要出现一个塑性铰，梁就会成为机构而破坏。塑性铰可能出现在截面A、D处，可分别得到两个破坏机构，如图(b)、(c)所示。
   
   用机动法求解时，先分别求出形成第一种机构时的破坏荷载和形成第二种机构时的破坏荷载。然后取其中较小者，便是极限荷载。
   第一种破坏机构为截面A形成塑性铰，图(b)中虚线所示为破坏机构的一种可能位移。将破坏机构看作刚体系，塑性铰截面的弯矩M_u1看作外力。此时，外力10F_Pu1所做虚功为10F_Pu1×2θ，外力5F_Pu1所做虚功为5F_Pu1×4θ，外力6F_Pu1所做虚功为-6F_Pu1×4θ，外力M_u1所做虚功为-M_u1θ(当破坏机构的位移与外力方向一致时虚功为正，方向相反时为负)，则虚功方程为(刚体体系)
   10F_Pu1×2θ+5F_Pu1×4θ-6F_Pu1×4θ-M_u1θ=0
   求解方程得F_Pu1=6.25kN。
   第二种破坏机构[见图(c)]为截面D形成塑性铰，相应的虚功方程为6F_Pu2×2θ-M_u2θ=0，解方程得F_Pu2=6.67kN。
   比较以上计算结果，可知该梁的极限荷载为F_Pu={F_Pu1，F_Pu2}_min=6.25kN。

[解] 对于超静定连续梁，可以证明，当连续梁各跨分别为等截面，且所有荷载为同方向时，就只可能发生某一跨单独形成破坏机构的情况。因此，对于图示连续梁，先分别求出各跨单独形成机构时的破坏荷载，然后取其中最小者，便是极限荷载。
   先利用机动法分别求出各跨单独形成机构时的破坏荷载。
   第一种破坏机构为AB跨形成机构，图(b)中虚线所示为破坏机构的一种可能位移。设截面A的转角为θ，则其余截面的转角和位移都可以用θ表示，列出刚体的虚功方程
   
   第二种破坏机构为BC跨形成机构，见图(c)，相应的虚功方程为
   
   比较以上计算结果，可知BC跨的破坏荷载最小，故该连续梁的极限荷载为。
   

[解] 由于AD、DC段截面的极限弯矩不相同，故塑性铰不仅可能出现在截面B、C处和集中力作用截面处，也可能出现在截面突变处，即截面D。经分析，可能的破坏机构有四种，分别见图(b)～(d)。
   
   与机构1相应的虚功方程为
   与机构2相应的虚功方程为
   与机构3相应的虚功方程为
   与机构4相应的虚功方程为
   比较以上计算结果，可知该连续梁的极限荷载为。

[解] 由于梁的CD部分是静定的，故可能由两跨联合形成一个破坏机构(机构3)，各种可能的破坏机构见图(b)～(d)。
   
   AB跨形成机构时，B截面形成塑性铰，故BD跨也形成机构(机构1)，因此分别计算两跨的破坏荷载。
   AB跨破坏：相应的虚功方程为F_Pu1θ×0.5l=M_u(θ+θ+2θ)，解方程得；
   BD跨破坏：相应的虚功方程为；
   CD局部形成机构(机构2)，相应的虚功方程为；
   联合机构(机构3)，相应的虚功方程为。
   比较以上计算结果，可知该连续梁的极限荷载为。实际破坏机构为机构3，其中截面A、E的弯矩首先达到极限值M_u，梁处于极限状态时的弯矩图如图(e)所示。
   

[解] 本题是一个典型的例题，讲解当荷载为均布时，跨内塑性铰位置的确定。
   (1)图(a)。图示梁形成三个塑性铰时，便成为机构，在截面A、B首先形成塑性铰，还可以在跨内出现一个塑性铰。由于结构和荷载对称，由弹性状态下的弯矩图可以知道除支座A、B外，跨中的弯矩是最大的，因此第三个塑性铰出现在跨中。
   方法一：静力法。如图(c)所示，应用分段叠加法的原理得。
   方法二：机动法。破坏机构如图(d)所示，相应的虚功方程为q_u××0.5l-M_u(θ+θ+2θ)=0，解方程得。
   (2)图(b)。本图结构需要形成两个塑性铰，一个在支座A处，另一个在跨内弯矩最大处，以下将重点讲解该最大弯矩位置的确定。
   方法一：静力法。见图(e)，假设跨内最大弯矩的位置距离B点为x，先由整体∑M_A=0得，解方程得。由于均布荷载下弯矩最大的截面对应剪力等于零，取CB杆为隔离体，由∑F_y=0列出一方程F_QC=q_ux-F_RB=0，将F_RB代入整理得。仍然分析CB杆，由，将前面求出的代入整理后得，解方程得，q_u2=。将q_u1代入得x=0.414l，将q_u2代入得到的x是负值，舍去。
   可见，极限荷载。
   方法二：机动法。破坏机构如图(f)所示，相应的虚功方程为q_u××l×θ₂x-M_u(θ₁+θ₁+θ₂)=0，其中θ₁和θ₂之间关系式为，代入前式整理得。由于q_u为极值，所以，整理后得。将x=0.414l代入q_u的表达式得。
   

[解] 用机动法。图示梁形成三个塑性铰时，使成为机构。在截面A、B处首先形成塑性铰，假设第三个塑性铰出现在离A支座距离为x的截面处(机构1)。破坏机构如图(b)所示，相应的虚功方程为，其中。解方程得得x=5l/12。将x值代入虚功方程，解得。
   第三个塑性铰也可能出现在集中力作用处，破坏机构见图(c)，列出虚功方程
   ，其中θ₁=2θ₂，求解方程得到。
   经比较可知，极限荷载。
   

[解] 用机动法。本题只有一种破坏机构，即BC跨破坏。AB跨由于无外荷载，两端弯矩最大，即使两端都变成塑性铰，也不会成为机构。BC跨的破坏机构如图(b)所示，在截面B处首先形成塑性铰，假设另一个塑性铰出现在距离B支座为x的截面处，则虚功方程为
   ，代入虚功方程并整理得q_u=
   由解得x=0.586l。将x值代入虚功方程，解得。
   

[解] 用机动法。本题的破坏机构有三种，分见图(b)、(c)、(d)，其中最右跨内有两个集中荷载，塑性铰出现在截面C和截面F处，截面E不可能出现塑性铰，原因是根据分段叠加法的原理画弯矩图时，先将C、D两点的弯矩连成直线(上侧受拉)，叠加简支梁的弯矩后，变为下侧受拉，从图(d)中可以看出F点弯矩大于E点弯矩，因此截面F先出现塑性铰。中间跨受均布荷载，需要三个塑性铰才能形成机构，分别是两端的截面B、C和中点截面(当杆件仅受均布荷载且两侧极限弯矩相等时，弯矩图对称，此时跨中弯矩最大)。各破坏机构的计算如下：
   机构1：相应的虚功方程为(注意：B支座处的极限弯矩取其左、右两侧截面的较小值)，解方程得。
   机构2：虚功方程为。
   机构3：。
   比较以上计算结果，可知该连续梁的极限荷载为。
   

[解] 用机动法。本题中最左跨有两个集中力，且无法判断哪个集中力下的弯矩较大，因此两处都可能出现塑性铰，另两个塑性铰出现在该跨的两端截面。中间跨受均布荷载，但两端塑性铰的极限弯矩不同，因此弯矩图不对称，跨内的塑性铰也就不在中点，需要先确定塑性铰的位置。具体计算如下。
   机构1[见图(b)]：相应的虚功方程为6q_u1×2θ×4+6q_u1×θ×4-2M_u×(2θ+3θ)-1.5M_u×θ=0，将M_u=360kN·m代入虚功方程解得q_u1=57.5kN/m。
   机构2[见图(c)]：虚功方程为6q_u2×4θ+6q_u2×2θ×4-2M_u×(θ+3θ)-1.5M_u×2θ=0q_u2=55kN/m。
   机构3[见图(d)]：假设跨内的塑性铰出现在离A支座距离为x的截面处。相应的虚功方程为，从中解得，得x=6.273m。将x值代入虚功方程，解得q=54.89kN/m。
   机构4[见图(e)]：虚功方程为6q_u4×3θ-M_u×(θ+2θ)=0q_u4=60kN/m。
   
   比较以上计算结果，可知该连续梁的极限荷载为q_u=54.89kN/m。

[解] 刚架可能形成的基本机构数m等于可能出现的塑性铰个数减去刚架的超静定次数，因为出现一个塑性铰，相当于减少一个约束。如果刚架上所有的塑性铰同时出现，则刚架将变成一个自由度为m的体系，该体系运动时将具有m个独立几何参数，而与每个独立参数相对应的运动形式相应于一种基本机构。因此，原刚架的各种可能的破坏机构都可由数目为m的基本机构组合而成。
   本例超静定次数为1，可能出现塑性铰的截面为B、E、C，即可能出现的塑性铰个数为3。因此，基本机构数m=3-1=2。两个基本机构如图(b)、(c)所示，图(b)称为侧移机构，图(c)称为梁机构。
   本例可能有的破坏机构共三个，两个基本机构和一个组合机构。在组合机构中[见图(d)]，截面B无塑性铰，因为图(b)、(c)中截面B处塑性铰的转角方向相反，故两个基本机构组合后，截面B处塑性铰的转角互相抵消而使塑性铰闭合。
   与侧移机构相应的虚功方程为F_Pu1×θ2l-M_u(θ+θ)=0F_Pu1=2M_u/l。
   与梁机构相应的虚功方程为F_Pu2×θl-M_u(θ+0.5θ+1.5θ)=0F_Pu2=3M_u/l。
   与组合机构相应的虚功方程为F_Pu3×θl+F_Pu3×θl-M_u(θ+0.5θ+1.5θ)=0F_Pu3=1.5M_u/l。
   比较以上计算结果，可知该刚架的极限荷载为F，。一1．5M~/l。
   

[解] 本例超静定次数为3，可能出现塑性铰的截面为A、B、C、D、E，即可能出现的塑性铰个数为5。因此，基本机构数m=5-3=2。两个基本机构如图(b)、(c)所示，图(b)称为侧移机构，图(c)称为梁机构。因水平杆刚度无穷大，故C、D处的塑性铰出现在柱顶。
   本例可能有的破坏机构共三个，两个基本机构和一个组合机构。在组合机构中，截面C无塑性铰，因为图(b)、(c)中截面C处塑性铰的转角方向相反，故两个基本机构组合后，转角互相抵消而使塑性铰闭合。
   
   与侧移机构相应的虚功方程为
   与梁机构相应的虚功方程为
   与组合机构相应的虚功方程为
   比较以上计算结果，可知该刚架的极限荷载为。

。提示：相应的破坏机构为截面A、B、C出现塑性铰。

。提示：BC跨形成机构。

。提示：相应的破坏机构为截面A、B、C出现塑性铰。

[解] 体系具有一个稳定自由度。设体系由原始平衡状态(水平位置)转到任意变形状态，如图(b)所示。设杆件的转角为θ，C点和D点的竖向位移及C、D处支座反力如图所示，应用整体的平衡条件∑M_A=0，得2θlk×2l+3θlk×3l-3θl×F_Pcr=0，整理后得(13lk-3F_Pcr)θ=0。为得到θ的非零解，要求上式的系数为零，即13lk-3F_Pcr=0，由此式可求得临界荷载。
   

[解] 体系具有两个稳定自由度。设体系由原始平衡状态(水平位置)转到任意变形状态，如图(b)所示。设D、E两点的弹簧位移分别为y₁、y₂，则其余各点的位移和转角都可以用y₁、y₂表示。由整体∑M_A=0，得k₁y₁×l+k₁y₂×2l+k₂y₁/l+F_Pcr×(1.5y₁-2y₂)=0；再取BC段分析，由∑M_B=0得k₁y₂×l/2+F_Pcr×(1.5y₁-2y₂+1.5y₁)=0。将k²=k₁l²代入上两式并整理成以y₁和y₂为未知数的方程组要使方程组有非零解，应使系数的行列式等于零，即
   
   将行列式展开整理为，解方程得F_Pcr1=2.97k₁l，F_Pcr2=0.112k₁l，取较小值作为临界荷载，即F_Pcr=0.112k₁l。
   

[解] 体系具有一个稳定自由度。设体系由原始平衡状态转到任意变形状态，如图(b)所示。设D点的位移为δ，应用整体的平衡条件∑M_A=0，得F_Pcrδ-kδ(2a+b)-F_RC(a+b)=0，再取BCD部分列平衡方程，由∑M_B=0，得F_Pcr×2δ-kδ×2a-F_RCa=0。将以上两式整理成方程组
   
   由于δ和F_RC不同时为零，则方程组的系数行列式等于零，即将行列式展开并求解得
   

[解] 体系具有一个稳定自由度。图(a)所示体系可简化为图(b)计算，则其弹簧刚度可由图(c)求得，其中。考虑简化体系的整体平衡条件∑M_A=0，得
   F_Pcr×θl-k₁θl×l-k₂θ=0
   解方程得(θ有非零解)。
   

[解] 体系具有一个稳定自由度。图(a)所示体系可简化为图(c)计算，则其弹簧刚度由图(b)求得，。注意：在图(b)中，水平杆刚度无穷大，应先画出CD杆的弯矩图，再根据结点弯矩平衡求出水平杆的弯矩，B点的水平力通过与CD杆的剪力平衡求出。还应注意，通过水平杆BC的弯矩图还可以求出B点有一竖直向下的支座反力，而该力会反作用于压杆AB使之产生一定的拉力，并抵消了AB杆的一部分压力，因此AB杆的临界荷载将会增大。本题计算时忽略了这一影响。临界荷载的计算：图(c)中，考虑简化体系的整体平衡条件∑M_A=0，得F_Pcr×θl-kθl×l=0。解方程得(θ有非零解)，。
   

[解] 本例为无限自由度体系的稳定问题。如图(a)所示体系可简化为图(c)计算，其弹簧刚度可由图(b)求出，。设失稳变形曲线如图(c)所示，y轴正方向假设为与曲线的凸向一致。设压杆AB任一截面O的弯矩为M，由平衡条件∑M_O=0，得M+kδx-F_Py=0，其中M=-EIy"。整理得。非齐次微分方程的通解为。
   将边界条件x=0，y=0；x=l，y=δ；x=l，y'=0代入通解得
   要使方程中A、B、δ有非零解，必有系数行列式为零，即
   
   用试算法，得
   

[解] 将结构简化为图(b)，令i=EI/l，则弹性支座的转动刚度可由图(c)求出，k=8i+2i=10i。建立图(b)所示的坐标系。
   取OB段分析，由∑M_O=0得稳定微分方程为F_P(δ-y)=M=EIy"，即，则方程可改写为y"+α²y=α²δ，方程的通解为y=Acosαx+Bsinαx+δ。
   根据边界条件x=0，y=0；x=0，
   因为A、B和δ不全为零。由此可得，A、B和δ的系数行列式应等于零，即将行列式展开整理后得稳定方程为
   

[解] 本例为无限自由度体系的稳定问题。如图(a)所示体系可简化为图(c)计算，其弹簧刚度由图(b)计算，。设失稳变形曲线如图(c)所示，压杆AB任一截面的弯矩为M=F_Py-F_R(l-x)。由整体∑M_B=0，得F_Rl=kθ。弹性曲线微分方程为EIy"=-M=-F_Py+F_R(l-x)，令，则前式可整理为。
   微分方程通解为。
   将边界条件x=0，y=0；x=0，；x=l，y=0代入通解得
   要使方程中A、B、F_R有非零解，必有系数行列式为零，即
   稳定方程为将代入整理得
   

[解] 本例为正对称刚架承受正对称荷载，其失稳形式有正对称和反对称两种，分别取半结构如图(b)、(c)所示，并简化为具有弹性抗转支座的压杆。
   
   正对称失稳时，转动刚度。弯矩方程为M=F_P(δ-y)=EIy"，令，则有y"+α²y=α²δ。方程的通解为y=Acosαx+Bsinαx+δ。边界条件x=0，y=0；x=0，x=h，y=δ代入得因为A、B和δ不全为零，所以A、B和δ的系数行列式应等于零，即行列式展开后整理得稳定方程为
   反对称失稳时，除转动刚度与正对称失稳不同外，其余均相同，系数行列式为稳定方程为
   本例由于反对称情况的转动刚度k₂比正对称情况的转动刚度k₁大，所以，临界荷载对应于正对称失稳。

[解] 正对称荷载下矢稳形式有正对称和反对称两种。分别简化半结构，如图(b)、(c)所示。
   
   (1)先分析图(b)的正对称失稳。由于失稳曲线上下对称，所以M_A=M_B，对一端取矩可得另一端的水平支座反力为零。取上半部分为隔离体建立平衡微分方程(设)，由∑M_O=0得M=-M_B+F_Py(其中M=-EIy"，负号是因为截断点O附近曲线的切线斜率由大变小)。方程整理后变为，方程的通解为y=。将边界条件x=0，y=0；x=0，y'=0；x=h，y=0带入方程的解，有由于方程有非零解，系数行列式为零，即展开后整理得cosαh=1αh=2π，故正对称失稳荷载F_Pcr1=
   。
   (2)分析图(c)的反对称失稳。取上半部分为隔离体建立稳定平衡微分方程(设)，由∑M_O=0得M+M_B+F_P(δ-y)=0(其中M=-EIy"，负号的原因同上)，整理后方程变为。方程的通解。将边界条件x=0，y=0；x=0，y'=0；x=h，x=δ；x=h，y'=0带入方程的解，有联立求解上述四个方程得因此反对称失稳荷载
   经比较，反对称失稳对应的荷载较小，因此结构的临界荷载为。

[解] 临界平衡状态时[见图(b)]，任一截面弯矩为M=F_P(δ-y)，稳定微分方程为EIy"=M-F_P(δ-y)(M前取正号是因为挠曲线的斜率由小变大)。令，整理得y"+α²y=α²δ，微分方程的通解为y=Acosαx+Bsinαx+δ。将边界条件x=0，y'=0；x=l，y=δ-lθ；x=l，y'=θ代入方程的解，可得由于A，B，θ不全为零，有系数的行列式等于零，即展开整理后得稳定方程为。
   注意：本题压杆的刚度有变化，选择边界条件时应包含刚度变化处的边界条件，否则会得出错误的计算结果。
   

[解]由整体∑M_A=0，可求得上端支座反力F_R=0。从任一截面处截断取隔离体，见图(b)，由∑M_O=0得M=F_Py，则稳定平衡微分方程为EIy"=-M=-F_Py(M前的负号是因为隔离体中挠曲线的斜率由大变小)。令，微分方程整理得y"+α²y=0，方程的通解为y=Acosαx+Bsinαx。将边界条件，y=0；x=0，y=δ代入方程的通解得由于A、B、δ不能同时为零，有系数的行列式等于零，即展开后整理得或。因为α≠0，所以有，所以。