解答题1. 已知体系的能量算符为
其中K,a,b,c均大于零,
为轨道角动量.求:体系的能级.
[解] 在空间内取方向n,相应的方向余弦为
故有
其中
为在n方向的投影
考虑到
有共同的本征函数,因此体系的能级为
其中l=0,1,2,…;m=0,±1,+2,…,±l.
设n(θ,φ)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)是(θ,φ)方向的单位矢量,为该方向的泡利算符2. 计算
的本征态|+〉
n,|-〉
n;
[解] 在
表象中求解.
即求解本征值方程:
求久期方程可得:λ
n=1,-1(因
).
考虑到归一化条件|a|
2+|b|
2=1,可取
当λ
n=-1时:
考虑到归一化条件|a|
2+|b
|2=1,可取
故本征态为
分别相应于本征值1,-1.
4. 证明
[解] 先计算本征值为1的态情况.
同理有:
5. 若记α
n=1+〉
n-β
n=|-〉
n,设两电子自旋态为
,试证明该态与
的方向无关,即由不同
得到的态最多相差一个相因子.
[解]
所以对于不同
得到的态最多相差一个相因子e
-iΔφ,与方位角θ无关.
6. 一个两电子体系处在自旋单态
,求第一个电子的自旋算符
作用于χ
00的结果,即求
[解] 第一个电子自旋算符σ
1n=n·σ
1=σ
1x+σ
1y+σ
1z,只对第一个电子作用
7. 若在上面本征值为1的态中,自旋的x分量和y分量有相等的均方差,求(θ,φ).
[解] 由第二问可得:
,又因为
由已知条件Δσ
x=Δσ
y可得
sin
2θcos
2φ=sin
2θsin
2φ
这就要求:(1-cos2θ)cos2φ=0
满足上式的角度为:
θ=0,π;φ为任意
或者θ≠0,π;φ=π/4,3π/4,5π/4,7π/4
测量一个电子(处于自由空间)自旋的z分量,发现是8. 接着测量自旋的x分量,可能得到什么结果?相应的概率是多少?
[解] 在
表象中,自旋波函数为
,而
的本征波函数为
相应的本征值为1、-1.
将
对此两态展开即知测量
可能得到
,测得的平均值为
测得
的概率分别为
9. 若测量自旋方向的轴与z轴成θ角,各种可能值的概率是多少?
[解] 设自旋轴为n=n(θ,φ)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ),则S沿该方向投影
由上题知其本征态为
,本征值分别为
测得
的概率为
测得
的概率为
10. 在第二问中自旋测量期待值是多少?
[解] 期望值为:
11. 处于l=0态的极化电子束,通过非均匀磁场后,分裂为强度不同的两束,其中自旋平行于磁场的一束与自旋反平行于磁场的一束的强度比为1:3,试求入射的极化电子束自旋方向与该磁场的夹角大小.
[解] 自旋平行与反平行的强度比,即是极化电子束按自旋在磁场方向投影算符的本征态分解的概率比.
方法一:设磁场方向为z轴,极化方向为n=(sinθ,0,cosθ),则在
表象中
入射态
满足方程:
注意:极化方向沿n方向,此时本征值为正.解得
a:b=(1+cosθ)/sinθ=cot(θ/2) (2)
磁场方向沿z轴,所以电子通过磁场后,分裂为z轴正、负方向两束根据测量假没理论,入射态用自旋
本征态展开,展开系数模方比值即为强度比,由已知条件和(2)式可得:
解得
方法二:设自旋极化方向为z轴,磁场方向为n,自旋顺磁场方向的概率为P
+,反方向的概率为P
-,由题设P
+:P
-=1:3,又P
++P
-=1,故可解出
所以
又因为
,比较得
12. 一束自旋为
的粒子进入施特恩-格拉赫装置SG(Ⅰ)后被分成两束,去掉其中
的一束,另一束
进入第二个施特恩-格拉赫装置SG(Ⅱ),SG(Ⅱ)与SG(Ⅰ)的交角为θ,则粒子束穿过SG(Ⅱ)后又被分成两束.求这两束的相对数目之比.
解
图1 图2 本征值为
本征值
对于本征态:
本征值
对于本征态:
对于SG(Ⅱ)测量前体系状态为
,可将
用S·n的本征态来展开
而两束的相对数目之比即为概率之比,因总数目一定,所以
考虑自旋的系统,13. 求算符
的本征值和归一化本征波函数;(A、B为实常数);
[解]
利用
得
所以本征值为
在
表象中
本征值方程为
从而有
所以归一化后的本征态为
14. 若此时系统正处在
的某一个本征态上,求此时测量
结果为
的概率.
[解] 在
表象中,
本征态为
所以发现
的概率为
其中P
-、P
+分别是当系统处于
时的概率.
15. 试求磁场强度为B的外磁场中,电子的由自旋引起的能量本征值和本征函数,B=B
3z+B
1x,式中B
3,B
1是常数,x和z分别是x方向和z方向的单位矢量(假定自旋轨道耦合项很小,可以忽略)
[解] 方法一:
只考虑自旋部分
利用
及泡利矩阵有
故本征值方程为:
取
,则有
久期方程为
非零解条件为
即:
,则有
.故本征值为
对于本征值
,由(3)式可得
又考虑到归一化条件:|a|
2+|b|
2=1,故可求得
对于本征值
,则有
方法二:
其中
故能量本征值为
对于本征态,可以通过方法一或者通过比较一般情况下的
的本征函数给出(取φ=0).
16. 一个磁矩为μ=μ
0σ的自旋为1/2体系处于一个沿z轴大小为B
0的均匀磁场中.在t=0时,再在x轴方向加入一个大小为B
1的均匀常磁场,此时新合成的磁场仍是常磁场,设其方向为z'轴在t=0时刻及以前,体系自旋处于
的本征态上,问:
(1)在t=0时刻B
1磁场加入瞬间,体系自旋沿z'轴的投影
的概率各是多少?
(2)在t>0时,体系所处的态矢量的矩阵表示|ψ(t)〉为多少?
(3)在t=T时,体系处于自旋
态的概率.
[解] 系统的哈密顿量为
依据上题方法二,上式改写为
此处单位矢量n=(sinθ,0,cosθ),即z'轴方向.则
容易解得上式的本征值和本征函数为
(1)在t=0时刻B
1磁场加入瞬间,体系状态来不及改变,仍为
故此时粒子自旋沿z'轴的投影
的概率为
考虑到
,则有
所以
其中cosθ,sinθ由(3)式给定,
(3)在t=T时,体系处于自旋
态的概率为
17. 电子处于沿y轴方向的均匀恒定磁场B中,t=0时刻,在S
z表象中,电子的自旋态为
不考虑电子的轨道运动,
(1)求任意t>0时刻体系的自旋波函数ξ(t);
(2)求t时刻电子自旋各分量的平均值;
(3)指出哪些自旋分量是守恒量,并简述其理由.
[解] 哈密顿量为:
其中
取
表象,利用
可得
(1)取
,由薛定谔方程
可得:
所以有:
同理有
(2)式得一般解为:
a(t)=Acos(ω
Lt+φ
1),φ
1为初相位
b(t)=Bcos(ω
Lt+φ
2),φ
2为初相位
由已知初始条件
可得,A=B=1,φ
1=φ
2=α.
故
(2)t时刻电子各分量平均值为:
其中
(3)
自旋分量为守恒量,因
某粒子质量为μ,自旋为S=1,具有磁矩M=-gS(g为正实数),受到恒定磁场B=Bey(ey为z方向单位矢量)作用.已知t=0时,,求:18. ψ(S
z,t);
[解] 哈密顿量为:
方法一:直接解薛定谔方程法
含时薛定谔方程为
即
初始条件为:a(0)=0,b(0)=0,c(0)=1.由(3a)式和(3b)式知
由(3b)式和(4)式可得
所以 b(t)=A
1cos(gBt)+A
2sin(gBt) (6)
由于b(0)=0可得:A
1=0,又
,所以
故
由(3a)及初始条件可得:
同理可得:
方法二:利用时间演化算子作用在初始态上去求ψ(t)
考虑到
算子的本征值及对应的本征态为:
所以有
两种方法一致.
19. 〈S
x(t)〉,〈S
y(t)〉,〈S
z=(t)〉.
[解]
20. 在外磁场中一个自旋1/1带电+e的粒子的哈密顿量为
计算算符
,设
的矩阵形式是什么?
[解] 在海森伯表象中,有
因此
若
,则
得
其中
由初始条件得
因此
21. 一电子静止在一沿z轴方向的振荡磁场中,
,其中B
0和ω为常量.
(1)写出体系的哈密顿矩阵;
(2)若电子初始时刻处于x轴方向的自旋朝上的自旋态(即χ(0)=|S
x;+〉),求以后任意时刻的状态χ(t);
(3)在t时刻,测量自旋S
x,得到结果为
的概率;
(4)迫使自旋S
x完全翻转所需要的最小磁场是多大?
[解] 选择S
z表象讨论问题
(2)假设任意时刻的自旋态为
,满足含时间薛定谔方程
所以有
解得
由波函数的初始条件是
,所以
其中
(3)测量自旋S
x,得到结果为
的概率为
(4)完全翻转,即测量S
x,得到结果为
的概率为1,所以
最小磁场为
22. 一个自旋为
、磁矩大小为μ的粒子处于如下旋转磁场中:
B=Bcos(ωt)e
x+Bsin(ωt)e
y 其中磁场大小B为定值.若初始时刻粒子的自旋沿z轴负方向,求t>0时粒子的自旋沿z轴正方向的概率.
[解] 在σ
z表象中,哈密顿量表示为:
设t>0时体系的自旋波函数为
代入含时薛定谔方程得到
结合(1)式和(3)式可得
其中
令a(t)=c
1(t)e
-iωt/2,b(t)=c2(t)e
iωt/2,代入(4)式和(5)式可得
令f(t)=c
1(t)+c
2(t),g(t)=c
1(t)-c
2(t),(6)式和(7)式相加或相减可得
解得
由初始条件
,可得a(0)=0,b(0)=1.即c
1(0)=0,c
2(0)=1,所以
f(0)=1,g(0)=-1 (12)
因此
故有t>0时刻波函数为
t>0时粒子自旋沿z轴正向的概率为
23. 写出在
表象中,
的矩阵形式,并求自旋角动量在n方向的投影
的本征函数.(已知:n=(cosα,cosβ,cosβ,cosγ)).
设
的本征态为|m〉,在
表象中
所以
为对角矩阵.
引入升降算符:
又因为
故有
所以
(2)求
的本征态
把坐标轴转动使k'和n重合,此转动变换为一幺正变换U,则
所以
即U|m〉为
的本征态.
因为n=(cosα,cosβ,cosγ)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ),所以有
转动的欧拉角为(φ,θ,0),故此转动算符的矩阵元为
所以
这就是
的本征态.
A、B是与对易的两个实常数矢量算符,其中是三个泡利矩阵,ex,ey,ez分别是x,y,z三坐标轴的单位矢量.25. 证明:
26. 若
为实常矢量,试将
表示为单位矩阵I和三个泡利矩阵的线性叠加形式;
27. 计算矩阵的迹
[解] 由第二问知:
利用第一问中结论,可得
上式中后三项为泡利算符的线性项,迹为零,故有
28. 自旋为1/2的粒子处于磁场B中,该粒子绕磁场进动的角频率记为ω=-γB,设t=0时刻粒子处于自旋朝下状态|ψ(0)〉=|*〉,求:(1)t时刻粒子仍处于该状态的概率;(2)求t时刻粒子自旋朝上的概率.
[解] 方法一:利用时间演化算符求解t时刻波函数,然后利用标积求解概率.
体系哈密顿量为
体系t>0时刻的状态为
首先计算时间演化算符
在σ
z表象中矩阵表示:
利用(σ·A)(σ·B)=A·B+iσ·(A×B)可得
(σ·ω)
2=ω
2 (3)
其中
,所以
故在
表象中时间演化算符矩阵表示为
(4)
即
(5)
(1)t时刻粒子仍处于自旋朝下的概率为
方法二:求解定态薛定谔方程,然后写出其一般解,利用标积求出概率.
取ω=ωn,由(1)式可得
上式的解为
故一般解为
因为
所以
因此
故在t时刻仍处于自旋朝下态的概率为
因为
,所以上式与方法一一致.
(2)粒子自旋朝上的概率为
记为泡利矩阵,定义29. 计算
[解]
30. 化简下面二式:
[解] 令
,则
故可得
取
,由初始条件:
可得
所以:
由(1)式求导可得:
31. 证明(ξ为常数):
[解] 方法一:由(2)式可得
(1)式±(3)式可得
上式右乘e
ξσ3可得
方法二:利用矩阵直接计算
在
表象中,
为对角矩阵,所以
故有
因此
32. 设
为轨道角动量算符,已知
共同的本征函数为Y
lm(θ,φ)(球谐函数),证明
的共同本征函数,且本征值为
[解] 由已知条件知
(1)考虑到
,可变换为
因为
而
,故有
对易,所以
因此
的本征函数,本征值为
(2)考虑
,同理先考虑
.取
,其中
,则
式中(1,2,3)≡(x,y,z).故有
因此,
的本征函数,本征值为
33. 试求
,θ是一恒定的角度值.
[解]
方法一:令
由(3)式得
根据初始条件
可得
结合(5)式、(1)式、(4)式可得结果.
方法二:利用公式:
方法三:利用旋转算符特征,利用绕y轴旋转矩阵求解
因绕z轴旋转矩阵为
经
轮换可得
故
已知L,S分别为轨道和自旋角动量(二者对易),计算下列对易式:34.
35.
36.
[解] 利用第一问和第二问可得:
37.
[解]
38.
[解]
39.
[解]