单项选择题1. 两平面x-4y+2z=2和2x-y-z=1所成二面角θ,则cosθ=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 两平面法向量分别为,{A
1,B
1,C
1}={1,-4,2},{A
2,B
2,C
2}={2,-1,-1},根据公式计算
,选C。
2. 平面x-4y+z=2和平面x-4y+z=5之间的距离等于______。
A.2
B.5
C.3
D.
A B C D
D
[解析] 此两平面平行,计算平面x-4y+z=2上点到平面x-4y+z=5的距离,可取平面x-4y+z=2上一特殊点A(0,0,2),根据点到平面距离公式
,选A。
当两平面平行时才有距离,事实上本题考察了点到平面求距离问题,为了计算方便,在平面x-4y+z=2上取一特殊点A(0,0,2)。
3. 与平面x-4z=3和平面2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线方程是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 所求直线方向向量
,点线式确定直线方程,选B。
4. 曲线
在xoy面上的交线是______。
A.
B.x
2+y
2=a
2 C.θ=0
D.
A B C D
A
[解析] 螺旋线L用参数方程表示,求曲线在xoy面上的交线,即z=0,于是
为,即x
2+y
2=a
2,交线为
5. 设x
n+1=sinx
n,其中x
0=sint,0≤t≤π,则
=______。
A.0
B.1
C.-1
D.
A B C D
A
[解析] 0≤t≤π,x
0=sint,0≤sint≤1,0≤x
1=sinsint≤1,…,0≤x
n≤1,则数列{x
n}有界,又sinx
n≤x
n,于是x
n+1≤x
n,{x
n}是单调下降数列,则
,得到
,选A。
通过数列所满足的关系x
n+1=sinx
n,得到数列是有界且单调下降的。
6.
=______。
A.
B.
C.e
D.1
A B C D
A
[解析] 幂指函数求极限,
,使用罗必达法则,等价无穷小代换,
8. 设
,g(0)=0,g'(0)=2那么f'(0)=______。
A.
B.
C.1
D.2
A B C D
D
[解析] 根据定义:
10. 求
得______。
A.0
B.
C.1
D.
A B C D
B
[解析] 求积分,
化简
,求积分时,去绝对值,分为两个不同区间上的积分。
11. 椭圆
绕x轴旋转一周的旋转体的体积为______。
A.πab
2 B.πa
2b
C.
D.
A B C D
C
[解析]
,绕x轴旋转体的体积
12. 二元函数
在(0,0)点处______。
- A.连续、偏导数存在
- B.连续、偏导数不存在
- C.不连续、偏导数存在
- D.不连续、偏导数不存在
A B C D
C
[解析]
不存在,因为y=kx时,
,k取不同值,极限值不同,极限不存在,即函数在(0,0)点不连续;又
,同理f
y(0,0)=0,偏导数存在,选C。
本题考察二元函数连续、偏导数定义。
13. 二次积分
=______。
A.1
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 交换积分次序
本题中交换积分次序才能实现计算。
15. 当-4<x<4时,幂级数
的和函数是______。
A.-ln(4-x)
B.
C.-4ln(4-x)
D.
A B C D
B
[解析]
由于S(0)=0,则
幂级数
,于是,其和为
本题通过逐项求导求幂级数和函数。
19. 在50件产品中有5件次品,45件正品,任取3件产品,恰有1件次品的概率是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 在50件产品中任取3件,取法有
种,取出的3件产品中恰有1件次品,意味着恰有2件正品,取法总数有
种,所求概率为
,选C。
20. 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量。该乘客候车时间不超过5分钟的概率是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] X服从区间[0,30]的均匀分布,密度函数
,候车时间不超过5分钟的概率,
。
21. 设总体X~B(1,p),p是未知参数,x
1,x
2,x
3,…,x
n是来自总体的样本,则
=______。
A.p
B.1-p
C.
D.
A B C D
C
[解析] X为两点分布,即P(x=1)=p,
,意味着样本x
1,x
2,x
3,…,x
n中有k个发生事件{x=1},n-k个发生事件{x=0},概率为
,选C。
22. 设随机变量X的概率密度为
,则
=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 先求
,再求
得到
,选C。
先求数学期望E(X),方差D(X),再求结论。
23. 设A可逆,A的伴随矩阵A
*可逆,其逆(A
*)
-1=______。
A.A
B.A
-1 C.
D.
A B C D
C
[解析]
25. 某气缸内装有未知气体,该气缸的体积为1m
3,气体的体积是0.5m
3,度温16℃,质量为80g,若该气缸内的压强是2.40159×10
4Pa,那么该气体为______。
A B C D
D
[解析] PV=NRT
M
mol=80×8.31×(16+273)/2.40159×10
4×0.5=16g/mol(氧气)
考虑的是气体的体积而不是气缸的体积,T为热力学温度而不是摄氏温度,R的值是8.31J/(mol·K),PV=NRT,
,此题应该注意题中所描述的量,准确的应用解题,对公式和常用的数据要熟记。
26. 在一容积不变的容器中,贮有一定量的理想气体,温度为T时,气体分子的平均速率为
,平均碰撞次数为
,平均自由程为
。当气体温度升高到4倍时,其分子的平均速率
,平均碰撞次数
和平均自由程
分别为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因为分子的平均速率
,平均碰撞次数
和平均自由程
的表示式分别为:
因为
,当容积不变,气体的分子数密度n不变,则
,而
不变。因此气体温度升高到4倍时,其分子的平均速率
,平均碰撞次数
和平均自由程
分别为
本题的正确结论为B。
此题考察的是在一定容的容器中,一定量的气体的平均速率
平均碰撞次数
和平均自由程
随温度变化的变化情况。
本题要熟记平均速率
,平均碰撞次数
,平均自由程
等公式,还要知道标准状况下气体的压强为p=1.013×10
5Pa,温度为T=273.15K。
28. 分子总数相同的三种理想气体He,O
2和CH
4,它们各自独立地进行等压膨胀,对外做功A与系统内能增量ΔE的比值最小的气体是______。
A B C D
C
[解析] 理想气体等压膨胀过程系统对外所做的功
内能的增量为
设气体质量为m的分子数为N,1mol气体的分子数为N
A,摩尔质量为M,则
对于分子总数相同的三种理想气体
He是单原子分子,自由度i=3,
O
2是双原子分子,自由度i=5,
CH
4是多原子分子,自由度i=6
对自由度数i大的气体,
小,可见,CH
4的
最小。
本题主要考察理想气体等压膨胀过程系统对外所做的功、内能公式和理想气体自由度数的概念。单原子分子的理想气体自由度是3,双原子分子的理想气体自由度是5,三个原子以上包括三个原子(叫多原子分子)的理想气体自由度是6。
29. 下列关于卡诺循环的说法错误的是______。
- A.要完成一次循环必须有高温和低温两个热源
- B.两热源的温度差越低效率越大
- C.卡诺循环的效率只与两热源的温度有关
- D.卡诺循环的效率总是小于1的
A B C D
B
[解析] 由卡诺循环效率
可知,高温与低温热源的温度差越大,效率越大。A、C、D选项均正确,B选项错误,故选择B。
本题考察卡诺循环。卡诺循环由两个平衡的等温过程和两个平衡的绝热过程组成。卡诺循环中Q
1/T
1=Q
2/T
2,η=A/Q
1=1-Q
2/Q
1=1-T
2/T
1,其中η表示热机效率,A表示对外做的正功,Q
1表示物体吸收的热量,Q
2表示物体放出的热量,T
1表示高温热源的温度,T
2表示低温热源的温度。通过公式可以看出:卡诺循环中需要两个热源:高温热源和低温热源,且两个热源的温度差越大,热机的效率越大。由公式η=1-T
2/T
1可知,卡诺循环的热机效率只与两个热源的温度有关。而实际中低温热源的温度不可能为零,即效率不可能为1。
33. 如图所示,波长为
的平行光垂直照射到L=0.12m长的两块玻璃片上,两玻璃片一边相互接触,另一边被直径d=0.048mm的细钢丝隔开。在这0.12m内呈现______条明条纹。
A B C D
A
[解析] 由图知,Lsinθ=d,即Lθ=d
故
相邻两明条纹空气膜厚度差为
相邻两暗纹间距
在0.12m内呈现明条纹
本题主要考察劈尖干涉相邻两暗纹间距公式。我们知道当两束光的光程相差一个波长时出现一个明纹或暗纹,对于该题,整个斜劈能产生的光程差范围是0~d,那么可以产生的亮纹数就是d÷(λ/2)。2的出现是因为光的往返。
35. X射线射到晶体上,对于晶面间距为d的平行点阵平面能产生散射,则出现反射加强的最大波长是______。
A.2d
B.
C.4
D.
A B C D
A
[解析] 由布格拉公式2dsinθ=kλ得
当X射线垂直射到晶体上,即sinθ=1,且取k=1,才能使主极大波长最大。代入上式,得λ=2d,故选A。
此题考察布格拉公式2dsinθ=kλ,其中d为晶面面距,θ为掠射角,λ为入射光的波长,主极大的最大波长满足的条件是:X射线垂直射到晶体上,即sinθ=1,且取k=1。
36. 自然光从空气入射到某介质表面上,当折射角为r
0=30°时,反射光是完全偏振光,则此介质的折射率为______。
A.1.12
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由布儒斯特定律,反射光是完全偏振光时,i
0+r
0=90°,当折射角r
0=30°时,入射角为:
i
0=60°
因为,
并取空气的折射率n
1=1.0,经计算,介质的折射率为
本题考察布儒斯特定律,有两个知识点,第一,当入射角和折射角之和等于90°,即i
0+r
0=90°时,反射光为线偏振光,称此时的入射角i
0,为布儒斯特角。当i=i
0时,反射光线与折射光线垂直。
第二,由折射定律:n
1sini
0=n
2sinr
0=n
2cosi
0得:
,i
0为自然光从第一种介质入射到第二种介质表面上的入射角,n
2为第二种介质的折射率,n
1为第一种介质的折射率。
37. 下列物质中,中心原子上有价层孤电子对的是______。
A.CH
4 B.BF
3 C.
D.H
3O
+ A B C D
D
[解析] 中心原子一般是指共价分子中与两个或两个以上原子成键的原子,一个分子中可以有一个或多个中心原子;价层孤电子对是指原子中未参与成键的价层电子对。选项A CH
4中的中心碳原子共有4个价电子,全部用于与氢原子成键,没有价层孤电子对;选项B BF
3中中心硼原子上的3个价电子全部用来和氟原子成键,没有价层孤电子对,虽然每个F原子上都有3个孤电子对,但F原子不是BF
3的中心原子;选项C
是氨分子与一个氢离子结合而形成的,其中的中心N原子共有5个价电子,其中4个与氢原子成键,带有一个正电荷相当于失去一个价电子,故
的中心氮原子上也没有价层孤电子对;选项D H
3O
+是水分子与一个氢离子结合而形成的,中心氧原子共有6个价电子,与3个氢原子成键用掉3个,失去1个价电子带一个正电荷,还剩余两个价电子没有成键,即有1个价层孤电子对,是正确答案。
分子中的中心原子上是否有价层孤电子对,主要看其价电子在形成分子时是否有剩余,这就要求首先要知道中心原子上总的价电子数,一般就是其在周期表中的族数,然后还要知道中心原子周围所形成的共价键数目以及是否带有电荷,每形成一个共价键用掉中心原子上一个价电子,每带一个正电荷相当于中心原子失去一个价电子,每带一个负电荷相当于中心原子得到一个价电子,在形成分子时剩余的价电子总数除以2,就可得到分子中中心原子上的价层孤电子对数。