一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2.
的拐点坐标是______
A.
B.(0,2)
C.(π,-2)
D.
A B C D
B
[解析] y'=sinx+xcosx-2sinx,y"=-xsinx,令y"=0得x=0,x=π,又因为y'''=-sinx-xcosx,将上述两点代入y"(π)≠0,所以(π,-2)是拐点.
4. 已知微分方程y"+ay'+6y=ce
x的通解为y=(C
1+C
2x)e
-x+e
x,则a,b,c依次为______
- A.1,0,1
- B.1,0,2
- C.2,1,3
- D.2,1,4
A B C D
D
[解析] 由条件知特征根为λ1=λ2=-1,特征方程为(λ-λ1)(λ-λ2)=λ2+2λ+1=0,故a=2,b=1,而y*=ex为特解,代入得c=4,故选D.
5. 已知平面区域
,
,
,试比较I
1,I
2,I
3的大小______
- A.I3<I2<I1
- B.I1<I2<I3
- C.I2<I1<I3
- D.I2<I3<I1
A B C D
A
[解析] 因为
,
,所以I
2<I
1,I
3<I
1.
所以I
3<I
2,所以I
3<I
2<I
1,故选A.
8. 设A是三阶实对称矩阵,E是三阶单位矩阵,若A
2+A=2E.且|A|=4,则二次型x
TAx规范形为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 设λ为A的特征值,由A
2+A=2E得λ
2+λ=2.
解得λ=-2或1,所以A的特征值是1或-2.
又∵|A|=4,所以A的三个特征值为1,-2,-2,∴二次型x
TAx的规范形为
,故选C.
三、解答题本题共94分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.1. 已知
求f'(x),并求f(x)的极值.
解:当x>0时f(x)=x
2x=e
2xlnxf'(x)=e
2xlnx(2lnx+2)=2x
2x(lnx+1)
当x<0时,f'(x)=e
x+xe
x=(x+1)e
x ∴有f(x)在x=0点不可导.
令f'(x)=0得
,x
2=-1,于是有下表
于是有f(x)的极小值为
,极大值为f(0)=1.
2. 求不定积分
解:令
则3x+6=A(x-1)(x
2+x+1)+B(x
2+x+1)+(Cx+D)(x-1)
2 令x=1得9=3B,B=3
令x=0得6=-A+B+D
令x=-1得3=-2A+B+4(D-C)
令x=2得12=7A+7B+2C+D
解得A=-2,B=3,C=2,D=1
y=y(x)是微分方程满足特解.4. 设平面区域D={(x,y)},D={(x,y)|1≤x≤2,0≤y≤y(x)},求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
解:
5. 已知平面区域D满足|x|≤y,(x
2+y
2)
3≤y
4,求
解:(x
2+y
2)
3=y
4的极坐标方程为r=sin
2θ,由对称性:
6. 设n是正整数,记S
n为y=e
-xsinx(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积,求S
n,并求
解:设区间[kπ,(k+1)π](k=0,1,2,…,n-1)上所围的面积记为u
k,则
记I=∫e
-xsinxdx,则
I=-∫e
-xdcosx=-(e
-xcosx-∫cosxde
-x)
=-e
-xcosx-∫e
-xdsinx=-e
-xcosx-(e
-xsinx-sinxde
-x)
=-e
-x(cosx+sinx)-I
所以
因此
(这里需要注意coskπ=(-1)
k)
7. 已知函数u(x,y)满足
,求a,b的值,使得在变换u(x,y)=v(x,y)e
ax+by之下,上述等式可化为函数v(x,y)的不含一阶偏导数的等式.
解:
代入已知条件
得
根据已知条件,上式不含一阶偏导,故a=0,3-4b=0
已知函数f(x,y)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1,,证明:8. 存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=0;
证明:设f(x)在ξ处取得最大值,
则由条件f(0)=0,f(1)=1,
可知f(ξ)>1,于是0<ξ<1,
由费马引理得f'(ξ)=0.
9. 存在η∈(0,1),使得f"(η)<-2.
证明:若不存在η∈(0,1),使f(n)<-2,
则对任何x∈(0,1),有f(x)≥-2,
由拉格朗日中值定理得:
f(x)-f(ξ)=f(e)(x-ξ),C介于x与ξ之间,
不妨设x<ξ,f'(x)≤-2(x-ξ),
积分得
于是f(ξ)-f(0)<1,即f(ξ)<1,
这与f(ξ)>1相矛盾,故存在η∈(0,1),使f"(η)<-2.
10. 已知向量组(Ⅰ)
(Ⅱ)
,若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价,求a的取值,并将卢β
3用α
1,α
2,α
3线性表示.
解:由等价的定义可知β
1,β
2,β
3都能由α
1,α
2,α
3线性表示,则有
r(α
1,α
2,α
3)=r(α
1,α
2,α
3,β
1,β
2,β
3)
对(α
1,α
2,α
3,β
1,β
2,β
3)作初等行变换可得:
当a=-1时,有r(α
1,α
2,α
3)<r(α
1,α
2,α
3,β
1,β
2,β
3);
当a=1,则r(α
1,α
2,α
3)= r(α
1,α
2,α
3,β
1,β
2,β
3)=2
可知a≠1且a≠-1时,此时r(α
1,α
2,α
3)=r(α
1,α
2,α
3,β
1,β
2,β
3)=3
则由a=1或者a≠1且a≠-1时,β
1,β
2,β
3可由α
1,α
2,α
3线性表示.
此时,要保证α1,α2,α3可由β
1,β
2,β
3线性表示,
对(α
1,α
2,α
3,β
1,β
2,β
3)作初等行变换可得:
当a=1时,有r(α
1,α
2,α
3)=r(α
1,α
2,α
3,β
1,β
2,β
3)=2
可知当a≠1且a≠-1时,此时r(α
1,α
2,α
3)=r(α
1,α
2,α
3,β
1,β
2,β
3)=3
此时,α1,α
2,α
3可由β
1,β
2,β
3线性表示,
综上所述:当a=-1时,向量组α
1,α
2,α
3与向量组β
1,β
2,β
3可相互线性表示.
当a≠1时,则β
3=α
1-α
2+α
3.
当a=1时,
基础解系为
,则β
3=(3-2k)α
1+(k-2)α
2+kα
3.
已知矩阵相似,11. 求x,y;
∵相似矩阵有相同的特征值,因此有
又|A|=-2(4-2x),|B|=-2y,所以x=3,y=-2.
12. 求可逆矩阵P使得P
-1AP=B.
λ
1=-1,λ
2=-2,λ
3=2