解：(a)杆处于单向拉伸状态，每个点都是危险点，其应力状态如图2(a)所示。
   
   (b)对图1(b)作如下标记。
   受扭圆轴处于单向应力状态，BC段的轴表面点是危险点，应力状态如图2(b)所示。
   (c)受弯扭组合作用的轴，危险点位于固定端截面处最上和最下边缘，为二向应力状态，如图2(c)所示。
   (d)受拉伸与扭转作用的轴，轴表面各点都为危险点，为二向应力状态，如图2(d)所示。

解：(1)①解析法
   由图1(a)可知：σ_x=70MPa，σ_y=-70MPa，τ_xy=0，α=30°
   则有：
   
   ②图解法
   作σOτ直角坐标系，A点(σ_x，τ_xy)，B点(σ_y，-τ_xy)，以AB为直径作圆，即为应力圆，圆心为O，以OA为始边，逆时针旋转2α=60°与应力圆的交点(σ_C，τ_C)即为斜截面ab上的应力，如图2(a)所示，由图量取知：σ_α=σ_C=35MPa，τ_α=τ_C=61MPa
   
   (2)①解析法
   由图1(b)可知：σ_x=70MPa，σ_y=70MPa，τ_xy=0，α=30°
   则有：
   
   ②图解法
   同理，该单元体的应力圆褪化为一个点C(70，0)，也称点圆，如图2(b)所示。故有σ_α=70MPa，τα=0MPa
   (3)①解析法
   由图1(c)知：σ_x=100MPa，σ_y=50MPa，τ_xy=0，α=60°
   则有：
   
   ②图解法
   同理，该单元体的应力圆如图2(c)所示。由图量取知：σ_α=σ_C=63MPa，τ_α=τ_C=22MPa。
   (4)①解析法
   由图1(d)可知：σ_x=-50MPa，σ_y=100MPa，τ_xy=0，α=150°
   则有：
   
   ②图解法
   同理，该单元体的应力圆如图2(d)所示。由图量取知：σ_α=-13MPa，τ_α=65MPa。

解：(1)图1(a)，按应力的符号规则知：σ_x=5MPa，σ_y=0，τ_xy=20MPa
   ①解析法
   由公式得：
   
   故按主应力的符号规定记主应力为：σ₁=57MPa，σ₂=0，σ₃=-7MPa
   主平面位置：由得α₀=-19.3°
   最大切应力：
   ②图解法
   作单元体的应力圆，如图2(a₁)所示，与σ轴的两个交点为σ₁、σ₃。应力圆的半径即为最大切应力的值，σ₁、σ₃、τ_max、2α₀均可从图上量取。
   主平面在单元体上的位置是由已知x平面逆时针旋转α₀得到，如图2(a₂)所示。
   
   (2)图2(b)，按应力的符号规则可知：σ_x=50MPa，σ_y=0，τ_xy=-20MPa
   ①解析法
   由公式得：
   
   故按主应力的符号规定记主应力为：σ₁=57MPa，σ₂=0，σ₃=-7MPa
   主平面位置：由
   最大切应力：
   ②图解法
   作单元体的应力圆，如图2(b₁)所示σ₁、σ₃、τ_max、2α₀，均可从图上量取。主平面在单元体上的位置是由已知x平面逆时针旋转α₀得到，如图2(b₂)所示。
   (3)图1(c)，按应力的符号规则知：σ_x=0，σ_y=0，τ_xy=25MPa
   ①解析法
   由公式得：
   故按主应力的符号规定记主应力为：σ₁=25MPa，σ₂=0，σ₃=-25MPa
   主平面位置：由得α₀=-45°
   最大切应力：
   ②图解法
   作单元体的应力圆，如图2(c₁)所示，σ₁、σ₃、τ_max、2α₀均可从图上量取。
   主平面在单元体上的位置是由已知x平面逆时针旋转α₀得到，如图2(c₂)所示。
   (4)图1(d)，按应力的符号规则：σ_x=-40MPa，σ_y=-20MPa，τ_xy=-40MPa
   ①解析法
   由公式得：
   
   故按主应力的符号规定记主应力为：σ₁=1.12MPa，σ₂=0，σ₃=-71.2MPa
   主平面位置：由得α₀=-38°
   最大切应力：
   ②图解法
   作单元体的应力圆，如图2(d₁)所示，σ₁、σ₃、t_max、2α₀均可从图上量取。
   主平面在单元体上的位置是由已知y平面逆时针旋转α₀得到，如图2(d₂)所示。
   (5)图1(e)，按应力的符号规则知：σ_x=0，σ_y=-80MPa，τ_xy=20MPa
   ①解析法
   由公式得：
   
   故按主应力的符号规定记主应力为：σ₁=4.7MPa，σ₂=0，σ₃=-84.7MPa
   主平面位置由得α₀=-13.3°
   最大切应力：
   ②图解法
   作单元体的应力圆，如图2(e₁)所示，σ₁、σ₃、τ_max、2α₀均可从图上量取。
   主平面在单元体上的位置是由已知x平面逆时针旋转α₀得到，如图2(e₂)所示。
   (6)图1(f)，按应力的符号规则知：σ_x=-20MPa，σ_y=30MPa，τ_xy=20MPa
   ①解析法
   由公式得：
   
   故按主应力的符号规定记主应力为：σ₁=37MPa，σ₂=0，σ₃=-27MPa
   主平面位置由得：α₀=19.3°
   最大切应力：
   ②图解法
   作单元体的应力圆，如图2(f₁)所示，均可从图上量取。
   主平面在单元体上的位置是由已知y平面逆时针旋转α₀得到，σ₁、σ₂、τ_max、2α₀如图2(f₂)所示。

解：(1)①解析法
   由图1(a)可知：σ_x=-40MPa，σ_y=0，τ_xy=20MPa，α=60°
   则有：
   
   ②图解法
   作σOτ直角坐标系，A点(σ_x，τ_xy)，B点(σ_y，-τ_xy)，以AB为直径作圆，即为应力圆，记圆心为C，以CA为始边，逆时针旋转2α=120°与应力圆的交点即为所求斜截面上的应力(σ_α，τ_α)，如图2(a)所示，由图量取得解。
   
   (2)①解析法
   由图1(b)可知：σ_x=30MPa，σ_y=50MPa，τ_xy=-20MPa，α=30°
   则有：
   
   
   ②图解法
   同理作应力圆，以C为圆心，以CA为始边，逆时针旋转2α=60°与应力圆的交点即为所求斜截面上的应力(σ_α，τ_α)，如图2(b)所示，由图量取得解。
   (3)①解析法
   由图1(c)可知：σ_x=0，σ_y=60MPa，τ_xy=40MPa，α=45°
   则有：
   
   ②图解法
   同理作应力圆，以C为圆心，以CA为始边，逆时针旋转2α=90°与应力圆的交点即为所求斜截面上的应力(σ_α，τ_α)，如图2(c)所示，由图量取得解。

解：在这种情况下，物体内任意一点的应力状态皆如图(b)所示。代表这一应力状态的应力圆如图(c)所示退缩成一点C，半径等于零。单元体任意斜面ef上的正应力都等于σ，切应力都等于零。这样，如从物体中任意地割取一部分，例如从中分割出一个圆柱体，则在圆柱体的柱面上的正应力也都是σ。

解：(1)1点
   其应力分量：
   其处于单向应力状态，主应力为：σ₁=σ₂=0，σ₃=σ=-120MPa
   应力状态如图(a)所示。
   
   (2)2点
   其应力分量：
   其处于纯剪切状态，主应力为：σ₁=36MPa，σ₂=0，σ₃=-36MPa
   应力状态如图(b)所示。
   (3)3点
   其应力分量：
   
   根据其主应力：
   σ₁=70.4MPa，σ₂=0，σ₃=-10.4MPa
   应力状态如图(c)所示。
   (4)4点
   同点1处于单向应力状态，但该点受拉，则主应力：σ₁=120MPa，σ₂=σ₃=0
   应力状态如图(d)所示。

解：(1)求钢丝内力F
   假想沿C点将该结构断开，则钢丝上C点的位移δ_C与曲拐ABC上C点的挠度δ'_C相等，即有变形协调方程：δ_C=δ'_C。
   δ_C由两部分组成：温度降低使钢丝缩短Δl_T，在内力F作用下伸长Δl_F：
   
   δ'_C由三部分组成：AB杆的弯曲变形产生的B端垂直位移w_B，BC杆的弯曲变形产生的C端垂直位移w_C，AB杆扭转引起的C端位移φ_Bl_BC。
   故根据叠加原理可得：
   曲拐横截面对中性轴的惯性矩：
   则其极惯性矩：I_p=2I=1.57×10^-8m⁴
   将以E各式代入协调方程可得：F=26.1N。
   (2)求截面A顶点应力状态
   由(1)可知曲拐截面A顶点的应力分量：
   
   其应力状态如图所示。
   

解：根据题意，A点所在截面的内力分量分别为：
   
   查型钢表知36a工字钢的截面参数I_x=15880cm⁴，截面尺寸如图(a)所示。
   由此可计算点A以下部分对中性轴的静矩：
   
   分析可知，A点的应力状态单元体如图(b)所示。其中，应力分量：
   
   (1)根据公式可得所求斜截面上的应力：
   
   (2)A的点主应力：
   
   又根据符号规定得，A点的主应力：σ₁=84.7MPa，σ₂=0，σ3₌-5MPa
   方向：由
   则其方位图如图(c)所示。
   

解：从图1中取出一个楔形单元体，如图2(a)所示。
   
   则根据应力符号规则有：σ_x=80MPa，τ_xy=0，σ_α=50MPa，α=60°
   由公式：
   
   可得：σ_y=40MPa，τ_α=17.3MPa
   绘制应力圆如图2(b)所示。
   则单元体的主应力为：σ₁=80MPa，σ₂=40MPa，σ₃=0。

解：(1)根据题意知，自由边界bc面上的剪应力和正应力均为零，因而是一个主平面，且其上的主应力为零，因此A点处于单向应力状态下，只有一个主应力不为零。此时A点主应力有两种可能：
   
   (2)若在A点周围以垂直于x轴和y轴的平面分割出单元体，其单元体如图所示，则有：
   
   
   已知斜截面bc是边界自由表面，故σ_α=τ_α=0，其中由几何关系得：α=53.1°。
   则该单元体上各面上的应力分量：
   σ_x=-44.8MPa，σ_y=-25.2MPa，τ_xy=-33.6MPa
   负号表示应力的真实方向与图所示方向相反。

解：选取如图(a)所单元体，则有：
   
   
   由斜截面应力计算公式得：σ_x=95MPa
   由主应力计算公式得：
   
   根据主应力标记符号规定，记主应力为：σ₁=120MPa，σ₂=20MPa，σ₃=0
   主平面位置：由
   综上，单元体主应力及其位置表示如图(b)所示。

解：在焊缝斜面上一点取一单元体，如图所示。
   
   分析可得该单元体上应力分量为：
   
   取焊缝截面外法线方向与x轴夹角α=-40°，则该截面上的正应力与切应力分别为：
   

解：取A点处的单元体，如图所示。由于A点在梁的中性轴上，因此处于纯剪切状态，则A点的应力分量：
   
   
   根据斜截面应力计算公式得α=110°，则A点所在的斜截面上的应力分量：
   

证明：取尖点A处的三角形单元体，如图所示。
   
   已知AB、AC面为自由表面，故其应力为零。由三角形ABC单元体平衡方程可知，BC截面上的应力也为零。
   故斜截面AB上的应力：
   
   其中0＜θ＜π，sin2α≠0，所以σ_x=σ_y=τ_xy=0，A点为零应力状态。
   命题得证。

解：(a)已知σ_x=90MPa，τ_xy=0，α=15°，σ_α=80MPa
   由斜截面应力计算公式得：
   
   解得：σ_y=-59.3MPa
   则斜截面上的切应力：
   
   由主应力计算公式：
   
   可得主应力为：σ₁=100MPa，σ₂=0，σ₃=-59.3MPa
   主平面的方向：由
   最大切应力：
   主应力和主平面在单元体上的表示如图(a)所示。
   
   (b)已知τ_xy=40MPa，α=30°，σ_α=-20MPa，τ_α=20MPa
   由斜截面应力计算公式得：
   
   解得：σ_x=14.6MPa，σ_y=14.6MPa
   由主应力计算公式：
   
   可得主应力为：σ₁=54.6MPa，σ₂=0MPa，σ₃=-25.4MPa
   主平面的方向：由
   最大切应力：
   主应力和主平面在单元体上的表示如图(b)所示。
   
   (c)已知σ_x=80MPa，σ₁=100MPa，τ_max=70MPa
   由最大切应力计算公式可得主应力：σ₃=-40MPa
   因该单元体为二向应力状态，故其另一主应力：σ₂=0
   由主应力计算公式得：
   
   
   联立式①②得：σ_x+σ_y=60MPa，故有：σ_y=-20MPa
   反代入式①计算得：τ_xy=±49MPa
   主平面方向：由
   故其主平面单元体表示有两种情况，如图(c₁)(c₂)所示。
   
   (d)已知σ_x=40MPa，τ_xy=60MPa，σ₃=-80MPa
   由主应力计算公式得：
   解得：σ_y=-50MPa
   故有：
   综上，主应力为：σ₁=70MPa，σ₂=0，σ₃=-50MPa
   主平面方向：由
   最大切应力：
   主应力和主平面在单元体上的表示如图(d)所示。
   
   综上，最终表中未知量如表2所示。

表2
题号						σx					σy						τxy					斜面的方位和应力																主应力及主平面位置																								τmax
																						α						σα					τα					σ1					σ2				σ3						σ1的方向
(a)						100					-59.3						0					15°						80					37.3					90					0				-59.3						0									74.7
(b)						14.6					14.6						-40					30°						-20					20					54.6					0				-25.4						-45°									40
(c)						80					-20						±49.0																					120					0				-40															70
(d)						40					-50						60																					70					0				-80						-26°34'									75

解：对图1分别建立如图2所示坐标系。
   
   (a)已知σ_x=50MPa，σ_y=σ_z=0，τ_yz=50MPa，其中σ_x=50MPa为主应力。
   又根据主应力计算公式：
   
   可得主应力为：σ₁=σ₂=50MPa，σ₃=-50MPa
   故最大切应力为：
   (b)已知σ_x=50MPa，σ_y=-20MPa，σ_z=30MPa，τ_yz=40MPa，其中σ_x=50MPa为主应力。
   又根据主应力计算公式：
   
   可得主应力为：σ₁=52.2MPa，σ₂=50MPa，σ₃=-42.2MPa
   故最大切应力为：
   (c)已知σ_x=120MPa，σ_y=40MPa，σ_z=-30MPa，τ_xy=-30NPa，其中σ_z=-30MPa为主应力。
   又根据主应力计算公式：
   
   可得主应力为：σ₁=130MPa，σ₂=30MPa，σ₃=-30MPa
   故最大切应力为：

解：(a)根据主应变计算公式：
   
   则主应变为：ε₁=0.00101，ε₂=0，ε₃=-0.000129
   方向：
   (b)根据主应变计算公式：
   
   则主应变为：ε₁=0.00077，ε₂=0，ε₃=-0.00037
   方向：

证明：根据任意方向的应变公式：
   令α=0°，α=45°，α=90°得：
   
   联立以上三式，解得：
   由主应变公式得：
   
   主应变方向角：
   
    命题得证。

证明：根据任意方向的应变公式，分别令α=0°，α=60°，α=120°得：
   
   解得：
   
   将以上各式代入主应变计算公式得：
   
   整理根号内部分：
   
   故主应变为：
   主应变方向为：
   命题得证。

证明：纯剪切状态的单元体如图所示，其主应力σ₁和σ₃分别在α₀=-45°和α₀=-135°的主平面上，且σ₁=-σ₃=τ，σ₂=0。
   
   将主应力代入由主应力表达的广义胡克定律得，主应变为
   
   纯剪切应力状态下
   据此，应用广义胡克定律得到：
   
   将②式代入任意方向上的正应变公式
   
   求得主应变
   
   对比式①和式③，得
   
   命题得证。

解：由广义胡克定律可得：
   根据题意σz=0，将ε_x、ε_y、E、μ的值代入以上两式可得：
   200×10⁹×0.0004=σ_x-0.3σ_y
   200×10₉×(-0.00012)=σ_y-0.3σ_x
   解得：σ_x=80MPa，σ_y=0
   由于在A点的单元体的切应力τ_xy未知，因此不能求出主应力。