第Ⅰ部分 (选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 下列极限哪项不正确.______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 函数极限.
[解析]
,所以x→0,
的极限不存在,故A、D正确,C错误.
,故B正确.
2. 设函数f(x)=
, 则在点x=0处______
A.
不存在
B.f(x)无定义
C.
存在,但f(x)不连续
D.f(x)连续
A B C D
A
[考点] 分段函数在一点处的极限和连续性.
[解析]
不存在,进而f(x)在x=0处不连续,故选A.
5.
______
A.x-sinx+C
B.
(x-sinx)+C
C.x-sinx
D.
(x-sinx)
A B C D
B
[考点] 求不定积分.
[解析]
6.
______
A.e
2+1
B.
(e
2+1)
C.
(e
2+1)
D.
(e
2+1)
A B C D
D
[考点] 用分部积分法求定积分.
[解析]
第Ⅱ部分 (非选择题)
二、填空题1.
______.
[考点] 函数极限.
[解析]
2. 设函数f(x)=
______.
[考点] 等价无穷小量的代换.
[解析]
3.
______.
2xsinx6
[考点] 变上限定积分的导数.
[解析]
4.
______.
x-arctanx+C
[考点] 不定积分的求法.
[解析]
5. 若将I=
改变积分顺序,则I=______.
[考点] 改变积分顺序.
[解析] 因积分区域D={(x,y)|1≤x≤e,0≤y≤inx)={(x,y)| 0≤y≤1.e
y≤x≤e),
所以
6. 设y=x
4,则
=______.
24x.
[考点] 一元函数的高阶导数.
[解析] y=x4,则y'=4x3,y〞=12x2,y〞=24x.
7. 设z=ln(
),则dz=______.
[考点] 二元函数的全微分.
[解析]
所以
8. 过原点且与平面2x-y+3z+7=0平行的平面方程为______.
2x-y+3z=0
[考点] 平面方程的求法.
[解析] 已知平面π1:2x-y+3z+7=0的法向量n1={2,-1,3}.
所求平面π//π1,则平面π的法向量n//n1,可以取n=n1={2,-1,3}.由于所求平面过原点,由平面的点法式方程,得2x=y++3z=0为所求平面方程.
9. 二重积分
______(其中积分区域D为半径为2的圆形区域).
4π
[考点] 二重积分的计算.
[解析]
10. 通解为C
1e
-x+C
2e
-3x的二阶常系数线性齐次微分方程是______.
y〞+4y'+3y=0
[考点] 二阶常系数齐次线性微分方程的解法.
[解析] 由题意可知,该微分方程所对应的特征值为-1,-3,因此特征方程为r2+4r+3=0,所以微分方程为:y〞+4y'+3y=0.
三、解答题(共70分。解答应写出推理、演算步骤)1. 计算
.
解:
[考点] 函数极限的求法.
2. 已知
求
值.
解:
故
[考点] 由参数方程确定的函数的求导方法.
3. 求垂直于直线2x-6y+3=0且与曲线y=x
3+3x
2-6相切的直线方程.
解:由于直线2x-6y+3=0的斜率
,与其垂直的直线的斜率
对于y=x
3+3x
2-6,y'=3x
2+6x,由题意应有3x
2+6x=-3,即x
2+2x+1=0,解得x=-1,此时y=(-1)
3+3(-1)
2-6=-4,
即切点为(-1,-4).切线方程为y+4=-3(x+1),即3x+y+7=0.
[考点] 直线方程的求法.
4. 求
.
解:
本题另解如下:令x=2sint,dx=2costdt,
则
[考点] 不定积分的计算.
5. 求
的通解.
解:
分离变量,得
,两边积分得y=Cx
2,
令y=C(x)x
2,则y'=2xC(x)+x
2C'(x),将其与y=C(x)x
2代入原方程得y=x
2(x
3+C),则其通解为y=Cx
2+x
5.
[考点] 一阶非齐次线性微分方程通解的解法.
6. 设平面图形是由曲线
和x+y=4围成.
(1)求此平面图形的面积S;
(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积V
x.
解:平面图形如下图所示.
[考点] 用定积分求平面图形的面积公式和旋转体的体积公式.
7. 判定级数
的收敛性.若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?
解:所给级数是任意项级数,不是交错级数.由于
又由于
为
的p级数,因而收敛,由正项级数的比较判别法可知
[考点] 用比较判别法求函数敛散性.
8. 计算
,其中D是由y=x和y
2=x围成.