一、单项选择题1. 两个圆C
1：x
2+y
2+2x+2y-2=0与C
2：x
2+y
2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有______．
A B C D
B
[解析] 两圆的圆心分别是(-1，-1)，(2，1)，半径分别是2，2，两圆圆心距离：
，说明两圆相交．因而公切线只有两条，故选B．
2. 复数
且
z对应的点在第一象限，则x的取值范围为______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[解析] 因为
，所以
又因为z对应的点在第一象限，所以
，解得x=kπ或
7. 已知抛物线y
2=2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为______．
A B C D
B
[解析] 设A(x
1，y
1)、B(x
2，y
2)，则有
两式相减得：(y
1-y
2)(y
1+y
2)=2p(x
1-x
2)，又因为直线的斜率为1，所以
所以有y
1+y
2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y
1+y
2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为
故选B．
9. 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
，则
______．
- A.反向平行
- B.同向平行
- C.互相垂直
- D.既不平行也不垂直
A B C D
A
[解析] 由定比分点的向量式得：
，同理得
，以上三式相加得
，所以选A．
二、填空题1. ______是数学科学理论的基本特点．
严谨性
[解析] 严谨性是数学科学理论的基本特点．它要求数学结论的表述必须精炼、准确．而对结论的推理论证，要求步步有根据，处处符合逻辑理论的要求．
2. 在△ABC中，sin
2A＜sin
2B+sin
2C-sinBsinC，则A的取值范围是______．
0＜A≤
[解析] 由sin
2A≤sin
2B+sin
2c-sinBsinC得a
2≤b
2+C
2-bc，即
≥
，∴
，∴0＜A＜π，故0＜A≤
．
3. 如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为______．
2
[解析] 因为
且OC为⊙O的半径，是定值，所以当OD取最小值时，CD取最大值．显然当OD⊥AB时，OD取最小值，且此时
即为所求的最大值．
4. 设P：关于x的不等式2
|x|＜a的解集为
，Q：函数y=lg(ax
2-x+a)的定义域为R．如果P和Q有且仅有一个正确，则a的取值范围是______．
[解析] P：∵2
|x|≥1，且不等式2
|x|＜α的解集为
，∴a≤1.
Q：ax
2-x+a＞0恒成立．
①若a=0，则-x＞0(不符合题意，舍去)；②若a≠0，则
∵P和Q有且仅有一个正确，∴P真Q假或者P假Q真．
若P真Q假，则
若P假Q真，则a＞1.
综上所述，所求a的取值范围是
5. 计算：
7
[解析]
三、计算题1. 已知函数
x∈R．求f(x)的最小正周期和最小值．
解：f(x)=sin xcos
+cos xsin
+cos xcos
+sin xsin
=
sin x-
cos x=2sin(x-
)，
所以f(x)的最小正周期T=2π，最小值f(x)
min=-2．
2. 求这三条曲线的方程；
解：设抛物线方程为yc
=2px(p＞0)，将M(1，2)代入方程得P=2，
∴抛物线方程为：y
2=4x．
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F
1(-1，0)，F
2(1，0)，∴c=1．
对于椭圆，
+
．
∴椭圆方程为：
．
对于双曲线，
．
∴双曲线方程为：
．
3. 已知动直线l过点P(3，0)，交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线l'，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值?若存在，求出l'的方程；若不存在，说明理由．
解：设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H．
令
．
∴
，
，
∴
=
=
．
当a=2时，｜DH｜
2=-4+6=2为定值，
即弦长DE为定值，此时l'的方程为x=2．
∴存在直线l':x=2满足条件．
，令a1=1，an+1=f(an)，又bn=an·an+1，n∈N+．4. 判断数列
是等差数列还是等比数列，并求数列{a
n}的通项公式；
解：因为
，所以
，
，故数列
是等差数列．公差
，
，所以
．
5. 求数列{b
n}的前n项和．
解：
数列{b
n}的前n项和
．
6. 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，
，b
2=ac，求∠B．
解：由
及B=π-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=
，即cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=
，sinAsinC=
．
又由b
2=ac及正弦定理得sin
2B=sinAsinC，
故
或
(舍去)．
于是
或
，又由b
2=ac知b≤a或b≤c，
所以
．
7. 求实数a的取值范围；
解：令g(x)=f(x)-x=x
2+(a-1)x+a，
则由0＜x
1＜x
2＜1得，
∴
，∴实数a的取值范围是
．
8. 试比较f(0)f(1)-f(0)与
的大小，并说明理由．
解：f(0)f(1)-f(0)=2a
2，
设h(a)=2a
2，∵当a＞0时，h(a)单调递增，
∴
．
．10. 若
，求b、c(其中b＜c)．
解：由
可得cbcosA=12 ①，由(1)知
，所以cb=24 ②，
由余弦定理知a
2=c
2+b
2-2cbcosA，将
及①代入，得c
2+b
2=52 ③，③+②×2，
得(c+b)
2=100，所以c+b=10．因此，c，b是一元二次方程t
2-10t+24=0的两个根．
解此方程并由c＞b知c=6，b=4．
因此
因此本题选C．
，所以
．又A为锐角，所以
．
深色：已答题 浅色：未答题