C

[考点] 函数极限连续间断——无穷小及其运算．
[解析] 分子分母因式分解．当a=3时有f(x)=x=1为可去间断点，故选C项．

A

[考点] 导数计算及应用——导数应用．
[解析] y'=4x³-6x²，y"=12x²-12x，令y"=0，得x₁=0，x₂=1，当x∈(-∞，0]∪[1，+∞)，y"＞0为凸区间．

B

[考点] 导数计算，不定积分计算．
[解析] f(x)=sinx+xcosx，f'(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx，故B项最合适．

A

[考点] 偏导数及余微分运算．
[解析] 当x=1，y=0代入方程解z=1对方程x求偏导．=0，代入x=1，y=0，得

D

D

[考点] 级数——一般项级数分散．
[解析] 选项A交错级数，根据莱布尼兹判定定理A收敛，选项B的上部分收敛，下部分为P级数，次数大于1故收敛，选项C，为收敛的几何函数．因为qⁿ：0＜q＜1，为P级数，p＞1收敛，故两者之和仍为收敛．
   D选项：2ⁿ为几何级数且qⁿ＜1＜q，故发散为P级数收敛．可写成收敛级数与发散级数之积仍为发散级数，故D项为发散．

y=e^-2

[考点] 极限运算——极限渐近线的判断
[解析] 令t=-x，则当x→∞时，t→∞于是即y=e^-2．

5

[考点] 导数计算及应用——求极值．
[解析] f'(x)=3ax²-18x+12
   f'(2)=12a-36+12=0
   a=2．
   令f'(x)=6x²-18x+12=0，
   即x²-3x+2=0，(x-1)(x-2)=0．
   x₁=1，x₂=2，令x=1代入，原式f(x)=5．

[考点] 定积分的运算．
[解析]
   
   对于可知其值为0，其结果为

[考点] 全微分的计算．
[解析]

[考点] 向量与空间解析几何——向量夹角
[解析] a+b=(2，2，0)，a-b=(0，2，2)，

[0，2)

[考点] 级数——一般项级数分散判别
[解析] 令
   则
   |x-1|＜1．
   即0＜x＜2．
   把0代入原函数得莱布尼兹定理收敛，x=2代入原式发散，故收敛域[0，2)．

[考点] 极限运算——等价替换

[考点] 导数参数方程运算．

[考点] 不定积分运算——分部积分．

令
   则原式

[考点] 求定积分

平行于x轴，所以竖法向量N垂直x轴得N在x上的投影为0，所以可设其方程为By+Cz+D=0，则有B+C+D=0，3B+4C+D=0，代入后式即3y-2z=1．

[考点] 矢量与空间解析几何——空间平面方程．

-2ycosxf"₁₂-4xyf"₂₂

[考点] 多元函数微分学——二阶偏导数的计算．

如图
   
   可得二重积分式
   

[考点] 二重积分的计算．

所解方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x)是p_m(x)e^λx型，所验方程对应齐次方程为y"=2y'=0．
   它的特征方程为
   r²-2r=0．
   有两个根r₁=0，r₂=2于是所得方程对应的齐次方程的通解为=C₁+C₂e^2x
   因f(x)=xe^3x，λ=3不是特征方程的根．
   故可设y^*=(ax+b)e^3x
   y^'*=ae^3x+3(ax+b)e^3x
   y^"*=3ae^3x+3ae^3x+9(ax+b)e^3x
   =6ae^3x+9(ax+b)e^3x．
   分别代入方程左边得
   6ae^3x+9(ax+b)e^3x-2ae^3x-6(ax+b)e^3x=xe^3x
   4ae^3x+3(ax+b)e^3x=xe^3x．
   经整理(4a+3b)e^3x+3axe^3x=ze^3x．
   即

[考点] 常系数非齐次线性微分方程．

证明：令f(x)=xlnx-3
   因为f'(x)在区间(2，3)内均小于0，
   所以f(x)在(2，3)单调递减．
   又因为f(2)＜0，f(3)＞0，
   所以xlnx=3在区间(2，3)内有且仅有一个实根．

[考点] 零点定理证明根个数．

证明：令f(x)=e^x-1--ln(x+1)
   f(0)=0．
   因为f'(x)=e^x-x-且f'(0)=0，
   又因为f"(x)=e^x-1+，
   当x＞0时，f"(x)＞0．
   所以f'(x)在(0，+∞)单调递增，f'(x)＞0．
   所以f(z)在(0，+∞)单调递增，f(x)＞0．
   所以

[考点] 通过导数单调性证明不等式．

(1)根据已知条件如图所示
   
   y'=-2x在点(1，0)处斜率k=-2，
   设切线为y=-2x+2，
   (2)由(1)中的结果得到

[考点] 定积分的应用——求旋转体体积，求面积．

等式两边求导得
   (1)xφ(x)=-φ'(x)，
   即xy=-y'，
   两端积分
   
   
   因为原式y(0)=1，
   所以C=1．

[考点] 定积分的应用，导数定义的应用，函数连续性的判定，导数可导性的判定．
   (2)因为
   所以f(x)在x=0处为连续．
   
   同理f(0+0)=∞根据导数定义设函数不可导．