单项选择题(每题的备选项中只有一个最符合题意)
1. 设已知两点
则方向和
一致的单位向量是:
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 选项A和B不是单位向量。
则方向和
一致的单位向量是:
2. 点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影点是:
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 将各选项的点坐标带入平面方程,发现ACD选项均不满足平面方程。且对于B选项,该点与已知点的连线,其向量为:
而平面法向量为{1,2,-1},二者平行,说明连线垂直于平面,该点满足题意要求。
7. 设f(u,v)具有一阶连续导数,
则
等于:
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
8. 设抛射体运动的轨迹方程为
则抛射体在t=1时的运动速度的大小为:
A.14
B.10
C.8
D.
A B C D
D
[解析]
9. 下列积分式中,正确的是:
A.∫cos(2x+3)dx=sin(2x+3)+C
B.
C.∫lnxdx=xlnx-x+C
D.
A B C D
C
[解析]
交换积分,∫lnxdx=xlnx-∫xdlnx=xlnx-∫1dx=xlnx-x+C,C选项正确;
10. 下列命题或等式中,错误的是:
A.设f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数,则
B.设f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数,则
C.设f(x)是(-∞,+∞)上连续的周期函数,周期为T,则
D.
A B C D
D
[解析] A选项,f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),
A选项正确。
B选项,f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),
B选项正确。
C选项。f(x)是(-∞,+∞)上连续的周期函数,周期为T,则
D选项,
在x=0处不可积,这个积分限是错误的,
是无穷积分。
11. 计算立体{(x,y,z)|4≤x
2+y
2+z
2≤9,z
2≤x
2+y
2}的体积的三次积分为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 4≤x
2+y
2+z
2≤9为内径为2,外径为3的圆壳,z
2≤x
2+y
2为以z轴为中心的倒圆锥。本题利用球面坐标进行积分,则有:x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ,所以:
12. 设C为圆周,x
2+y
2=r
2,C的方向为逆时针方向,则积分
的值为:
A.2π
B.2πr
C.
D.0
A B C D
A
[解析] 计算得
可知积分与路径无关,但是积分区域包含原点,不是单连通域。挖去奇点,作以原点为圆心,半径为1的圆周x
2+y
2=1,运用格林公式
原积分等价为
14. 下列命题中正确的是:
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 对于A选项,如果
为交错级数则
可能发散,错误;
对于B选项,级数
收敛性不等同于
的收敛性,错误;
对于C选项,
条件收敛则表示它本身收敛而它的绝对值发散,则
发散,正确;
对于D选项,
收敛是
的充分条件而不是必要条件,错误。
16. 方程
的通解为:
A.
B.y=cx
C.
D.y=x+c
A B C D
B
[解析]
两边积分得
17. 设随机变量ξ的分布函数为
则E(ξ)等于:
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 设随机变量的概率密度函数为f(x),对分布函数求微分得概率密度函数
当x<0时,f(x)=F'(x)=0,得到f(x)=0
当0≤x≤时,f(x)=F'(x)=3x
2 当x>1时,
数学期望
18. n张奖券中含有m张有奖的,k个人购买,每人一张,其中至少有一个人中奖的概率是:
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 反证法,先求出没有人中奖的概率P,即可求得至少有一人中奖的概率为1-P。k个人购买的组合有
,假设k个人购买,全部没中奖的组合有
,所以:
因此A选项正确。
19. 设(x
1,x
2,…,x
n)是抽自正态总体N(0,1)的一个容量为n的样本,记
则下列结论中正确的是:
A.
服从正态分布N(0,1)
B.
服从正态分布N(0,1)
C.
服从自由度为n的X
2分布
D.
服从自由度为(n-1)的t分布
A B C D
C
[解析]
服从正态分布
服从正态分布N(0,n),
服从正态分布N(0,1),AB错误。
服从自由度为(n-1)的t分布,D错误。
20. 若P(X≤x
2)=0.6,P(X≥x
1)=0.7,其中x
1<x
2,则P(x
1≤X≤x
2)的值为:
A B C D
D
[解析] P(X≤x1)=1-P(X≥x1)=0.3,
P(x1≤X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=0.6-0.3=0.3。
24. 设
当t=0时,A=2i+j,则A等于:
- A.(t2-t+2)i+(1-t2)j+sintk
- B.(t2-t)i+t2j+sintk
- C.-j+k
- D.i-2j-sintk
A B C D
A
[解析]
积分得A=(t
2-t+a)i+(b-t
2)j+sintk令t=0,a=2,b=1,代入得A=(t
2-t+2)i+(1-t
2)j+sintk。
26. 有两种理想气体,第一种的压强记作P
1,体积记作V
1,温度记作T
1,总质量记作m
1,摩尔质量记作M
1;第二种的压强记作P
2,体积记作V
2,温度记作T
2,总质量记作m
2,摩尔质量记作M
2。当P
1=P
2,V
1=V
2,T
1=T
2时,则
为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 根据题意有理想气体方程:
可得气体的摩尔质量为:
对于两种理想气体,当P
1=P
2,V
1=V
2,T
1=T
2时,则摩尔质量之比为:
31. 如图所示为沿x轴负方向传播的平面简谐波在t=0时刻的波形。若波动方程以余弦函数表示,则0点处的振动的初位相为:
A.0
B.
C.π
D.
A B C D
D
[解析] 对于余弦函数表示的波动方程而言,其平衡位置的相位为
(k等于0,±1,±2,…),其中当k为偶数时,质点向下运动,k为奇数时,质点向上运动。由题意可知,下一刻0点处质点的运动方向为向上,因此0点处的振动的初位相为
。
32. 两束单色的平行光垂直入射在光栅上,λ
1=600mm,λ
2=400nm,发现距中央明纹5cm处λ
1光的第k级主极大和λ
2光的第k+1级主极大相重合,放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f=50cm,上述k值为:
A B C D
C
[解析] 由题意λ
1光的第k级主极大和λ
2光的第k+1级主极大相重合,设光栅常数为d,由光栅方程得:
dsinφ
1=kλ
1及dsinφ
1=(k+1)λ
2;
联立求解得kλ
1=(k+1)λ
2;
所以
34. 如图所示,折射率为n
2、厚度为e的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n
1和n
3,已知n
1<n
2<n
3。若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上,则从薄膜上、下两表面反射的光束(1)和(2)的光程差是:
A.2n
2e
B.
C.2n
2e-λ
D.
A B C D
A
[解析] 当单色平行光垂直入射到薄膜上,入射角i=0,则从薄膜上下两表面反射的光束(1)和(2)的光程差是:
δ=2en2+δ'
半波损失项δ'的判定是解题关键,应按以下方法确定:(1)光发生了一次反射,是由介质(n1)入射到薄膜上表面发生的反射,因n1<n2,有半波损失;(2)光也有一次反射,是由薄膜入射到介质(n3)表面发生的反射,因n2<n3,有半波损失;因此总的来说,半波损失在附加项中相减抵消。由从薄膜上、下两表面反射的光束(1)和(2)的光程差是:δ=2en2。
35. 自然光从空气入射到某介质表面,当折射角为30°时,反射光是完全偏振光,则此介质的折射率为:
A.1.12
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由布儒斯特定律,反射光是完全偏振光时,i
0+r
0=90°,当折射角时r
0=30°,入射角为i
0=60°
因为
并取空气的折射率n
1=1.0,经计算,介质的折射率为:
36. 光强为I
0的自然光垂直通过两个偏振片,它们的偏振化方向之间的夹角α=30°。设偏振片没有吸收,则出射光强I与入射光强I
0之比为:
A B C D
B
[解析] 一束光强为I
0的线偏振光,透过检偏器以后,透射光的光强为I=I
0cos
2α,其中α为线偏振光的光振动方向与偏振片的偏振方向间的夹角,该式称为马吕斯定律。
所以。
40. 已知反应C
2H
2(g)+2H
2(g)
C
2H
6(g)的Δ
rH
m<0,当反应达平衡后,欲使反应向右进行,可采取的方法是:
- A.升温,升压
- B.升温,减压
- C.降温,升压
- D.降温,减压
A B C D
C
[解析] ΔrHm<0,反应为放热反应,需降温。反应物摩尔数大于生成物摩尔数,故需要升压。