C

[解析] 因为矩阵A与B相似，所以它们有相同的特征值，故可排除B、D．
   由P^-1AP=BP^-1A=BP^-1P^-1Aα=BP^-1α，于是有
   B(P^-1α)=P^-1(λα)=λ(P^-1α)．
   故应选C．

D

[解析] A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．
   B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．
   C是秩为1的矩阵，Ax=0有二个线性无关解，是A的对应于λ=0特征向量．λ=0至少是A的二重特征值，又，故λ=0是二重特征值A相似于对角阵或由|λE-A|=λ³-4λ²，知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ=0，由秩
   r(0E-A)=r(A)=1
   知齐次方程组(0E-A)x=0的基础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即λ=0有两个线性无关的特征向量．从而矩阵必可以相似对角化．由排除法，知应选D．或
   D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，-1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩
   
   知齐次方程组(E-A)x=0只有3-2=1个线性无关的解，亦即λ=1只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化．所以应当选D．

D

[解析] 实际上有下述定理．设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，考虑下述两个方程
   y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)    (*)
   及对应的齐次方程
     y"+p(x)y'+q(x)y=0．    (**)
   ①设y₁(x)，y₂(x)，y₃(x)是式(*)的3个解，A，B，C为常数．并设
   y=Ay₁(x)+By₂(x)+Cy₃(x)．    (***)
   则式(***)是式(*)的解的充要条件是
   A+B+C=1；
   式(***)是式(**)的解的充要条件是
   A+B+C=0．
   ②设y₁(x)，y₂(x)，y₃(x)是式(*)的3个线性无关的解，A，B，C中有两个为任意常数．
   则式(***)是式(*)的通解的充要条件是
   A+B+C=1；
   式(***)是式(**)的通解的充要条件是
   A+B+C=0．
   本题用到上述②．验算上述y₁，y₂，y₃的系数之和，D的系数之和为C₁+C₂+(1-C₁-C₂)=1．所以D是通解．

A

A

[解析] ，∵f(x)在x=0处连续，∴，选A．

D

[解析] A与B相似，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则
   tE-B=tE-P^-1AP=P^-1(tE)P-P^-1AP=P^-1(tE-A)P，即tE-A与tE-B相似，选D．对于A项：λE-A=λE-BA=B；对于B项：A与B相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于C项：A与B不一定能够相似对角化．

D

B

[解析] 对行列式|A|按第2行展开，有
   2A₂₁+2A₂₂+A₂₃+A₂₄=9．  ①
   构造行列式
   
   则|A|和|B|第2行元素代数余子式相同．对|B|按第2行展开，义有
   A₂₁+A₂₂+2A₂₃+2A₂₄=|B|=0．  ②
   联立①，②可得A₂₁+A₂₂=6．故选(B)．
   作为复习，请你求解：设n阶矩阵
   
   试求：(Ⅰ)|A|中所有元素的代数余子式之和，即
   (Ⅱ)|A|中第k行元素代数余子式之和，即
   [分析] 直接求|A|中代数余子式之和比较麻烦．由于A的伴随矩阵A^*=(A_ij)_n×n=|A|A^-1，因此只要计算出|A|和A^-1，就可以通过A^*=|A|A^-1求代数余子式之和．
   (Ⅰ)按照第1列最后一个元素展开,可得
   
   将矩阵A分块求逆矩阵A^-1．
   
   其中
   根据分块矩阵求逆公式，有
   
   于是
   所以
   (Ⅱ)根据第(Ⅰ)小题结果，由于
   
   因此

[解析] 由dy=2xf'(x²)Δx得dy|_x=-1=-2f'(1)×0.05=-0.1f'(1)，
   因为Δy的线性部分为dy，由-0.1f'(1)=0.15得．

[解析] y'=(n²-1)x^n2-2，y'(1)=n²-1，
   故切线方程为
   y-1=(n²-1)(x-1)．
   令y=0，得
   
   故
   

xe^1-x

[解析] 此为一阶齐次方程．令y=ux，有原方程化为
   
   得ln|lnu-1|=ln|C₁x|，
   去掉对数记号及绝对值号，得lnu=C₁x+1，u=e^C₁x+1，将u|_x=1=1代入，得C₁=-1，u=e^1-x，原方程的解为

1

[解析] 由
   知r(α₁，α₂，α₃)=2，由题设：r(β₁，β₂，β₃)=2
   因
   
   故x=1．

-4  -13

[解析] 因为α，β，γ正交，所以，解得a=-4，b=-13．

0；

证明：将β用ξ₁，ξ₂，ξ₃线性表出，设β=x₁ξ₁+x₂ξ₂+x₃ξ₃，即解方程组
   
   将增广矩阵作初等行变换：
   ，
   解得[x₁，x₂，x₃]^T=[1，-2，3]^T，即β=ξ₁-2ξ₂+3ξ₃，
   
   故A¹⁰⁰β=A¹⁰⁰(ξ₁-2ξ₂+3ξ₃)=(-2)¹⁰⁰ξ₁-2(-2)100ξ₂+3×2¹⁰⁰ξ₃
   =2¹⁰⁰(ξ₁-2ξ₂+3ξ₃)=2¹⁰⁰β．
   得知β是A¹⁰⁰的特征向量，且对应的特征值为2¹⁰⁰．

解：
   

证明：因为A是正交矩阵，所以A^TA=E，两边取行列式得|A|²=1，因为|A|＜0，所以|A|=-1.
   由|E+A|=|A^TA+A|=|(A^T+E)A|=|A||A^T+E|=-|A^T+E|
   =-|(A+E)|^T=-|E+A|
   得|E+A|=0.

证明：由函数y=lnx的单调性，只需证aln(a+x)＜(a+x)lna．
   设f(x)=(a+x)lna-aln(a+x)，则f(x)在[0，+∞)内连续、可导，且
   
   所以f(x)在[0，+∞)内单增．又f(0)=0．从而得f(x)＞0，x＞0，即
   aln(a+x)＜(a+x)lna，x＞0．
   所以(a+x)^a＜a^a+x，x＞0．

(Ⅰ)解：当n≥2时，计算作积分变量代换，令1-x=t，是
   
   下面用分部积分法计算：
   
   所以
   
   由此迭代式得
   
   其中
   (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知a_n的迭代式显然有0＜a_n＜a_n-1(n=2，3，…)．又
   
   则

解：先画出积分区域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，如图(a)所示．
   
   
   对于
   的内层，对y的积分作积分变量代换，令u=x+y．当y=-1-x时，u=-1；当y=1+x时，u=1+2x．于是
   
   再交换x与u的积分次序(如图(b))，得
   
   
   类似地，
   
   从而