解：当z＜a时，F_Z(z)=0，fZ(z)=0
   当时，
   
   当时，
   
   当z≥b时，F_Z(z)=1，f_Z(z)=0
   特别地，如果取a=0，b=2，此时X～U[0，1]，Y～U[0，1]，如果X与Y相互独立，则Z=X+Y的分布函数、密度函数分别为
   

解：采用“分布函数法”，。
   当z＜-2时，F_Z(z)=0，f_Z(z)=0
   当z≥2时，F_Z(z)=1，f_Z(z)=0
   当-2≤z＜0时，
   当0≤z＜2时，

解：对-∞＜z＜+∞，有
   
   即Z服从标准柯西分布。

解：当时，
   当时，

证明：由于X，Y相互独立同分布，(X，Y)的联合密度为f_X，Y(x，y)=e^-(x+y)，x≥0，y≥0，令U=X+Y，，作变换且当x≥0，y≥0时，u≥0，0≤v≤1，，|J|=u，故(U，V)的联合密度函数为f_U，V(u，v)=ue^-u，u≥0，0≤v≤1于是得U和V的边际密度函数f_U(u)，f_V(v)
   当u≥0时，；当u＜0时，f_U(u)=0
   当0≤v≤1时，
   当v＜0或v＞1时，f_V(v)=0。
   所以，f_U，V(u，v)=f_U(u)f_V(v)，即U，V相互独立，亦即X+Y和相互独立。

解：方法一：令
   
   
   对z＞0有
   方法二：对z＞0，
   方法三：X～N(0，σ²)，Y～N(0，σ²)且相互独立，则，且相互独立。进而，，且相互独立。于是有或Exp(1/2)，所以，当z＞0时，
   

解：记总体X的密度函数与分布函数分别为f(x)，F(x)。
   A={X₁＞0，X₂＞0}，B₁={X₁＞0，X₂＜0，X₁+X₂＞0}
   B₂={X₁＞0，X₂＜0，X₁+X₂＜0}，C={X₁＜0，X₂＞0，X₁+X₂＞0}
   A，B₁，B₂，C如图所示，则
   
   进而有P(B₁)=P(C)
   
   由于p₁=p₃+P(B₂)，p=p₃+P(C)=p₃+P(B₁)
   而
   而p₁+p₂=2p₃+P(B₂)+P(B₁)=2p₃+p₁(1-p₁)
   则

解：由于随机变量Y在(0，X)上有均匀分布，则
   

解：采用“分布函数法”先求Z=X+Y的分布函数F_Z(z)。由于X和Y独立，则(X，Y)的联合密度函数为而f(x，y)在区域D₁={(x，y)：0≤x≤1，0≤y≤1}和区域D₂={(x，y)：0≤x≤1，1≤y≤2}上不为零。则
   当z＜0时，F_Z(z)=0，f_Z(z)=0
   当z≥3时，F_Z(z)=1，f_Z(z)=0
   当0≤z＜1时，
   当1≤z＜2时，
   当2≤z＜3时，

解：由，得u＞0，-∞＜v<+∞
   于是，
   由于(X，Y)的联合密度函数为，-∞＜x，y＜+∞，则(U，V)联合密度函数为
   
   U的边际密度函数为
   
   即或χ²(2)，事实上可以从另一途径得到该结果。由于X，Y独立同服从N(0，1)，则X²～χ²(1)，Y²～χ²(1)，进而X²+Y²～χ²(2)。
   V的边际密度函数为，-∞＜v＜+∞
   即V服从标准柯西分布。
   因此，f_U，V(u，v)=f_U(u)f_V(v)，u＞0，-∞＜v＜+∞，即随机变量U和V相互独立。

解：方法一：将矩形{0＜x＜1，0＜y＜1}分为A和B两部分，如果随机点(X，Y)落入A，那么X＜Y；如果随机点(X，Y)落入B，那么X＞Y。对区域A，随机变量的变换成为此时密度函数中变量的变换和逆变换分别为和0＜u＜v＜1，变换的雅可比行列式为。而对区域B，随机变量的变换成为此时密度函数中变量的变换和逆变换分别为0＜u＜v＜1，变换的雅可比行列式为。于是，U和V的联合密度函数为
   
   方法二：对0＜u，v＜1，
   当u≥v时，
   当u＜v时，
   由此，当0＜u＜v＜1时，。

解：

解：记T=X+Y+Z，则对t＞0有
   
   则有

解：(1)当z＞0时，
   
   特别地，若α=β，则F_Z1(z)=1-e^-αz-αze^-αz，f_Z1(z)=α²ze^-αz
   (2)当z＜0时，
   当z＞0时，
   (3)当z＞0时，
   (4)当z＞0时，