单项选择题8. 已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ
2)设随机变量Y为X的指数函数，即Y=e
X，则Y的期望值为______。
A．μ+σ
2 B．
C．
D．exp{μ}
A B C D
B
[解析] 该题事实上是对数正态分布的k阶矩。若X～N(μ，σ
2)，则Y=e
X～LN(μ，σ
2)。
令
，Y=eX=e
μe
σZ，则
特别地
10. 设X
1，X
2，…，X
n，…是相互独立的随机变量，X
n服从参数为n的指数分布n≥1，则下列随机变量序列中不服从车贝雪夫大数定律的是______。
A．
B．X
1，X
2，…，X
n，…
C．X
1，2X
2，…，nX
n，…
D．X
1，2
2X
2，…，n
2X
n，…
A B C D
12. 设随机变量X
1，X
2，…，X
n相互独立，S
n=X
1+X
2+…+X
n，则根据列维—林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S
n近似服从正态分布，只要X
1，X
2，…，X
n______。
- A.有相同的期望和方差
- B.服从同一离散型分布
- C.服从同一指数分布
- D.服从同一连续型分布
A B C D
C
[解析] 列维—林德伯格中心极限定理的条件是：随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，并且其数学期望和方差存在。由于有相同的数学期望和方差未必有相同分布，可见A不满足定理条件。满足B和D的随机变量Xi的数学期望或方差未必存在，故B和D也不满足定理条件。于是只有C成立。
14. 设随机变量序列X
1，X
2，…，X
n，…，记
(n足够大)，则S
n可用正态分布近似的充分条件是______。
A．X
1，X
2，…，X
n，…独立同分布，且概率密度均为
B．X
1，X
2，…，X
n，…均服从参数为λ的泊松分布
C．X
1，X
2，…，X
n，…相互独立，都服从区间[a，b]上的均匀分布
D．X
1，X
2，…，X
n，…均服从参数为p，0＜p＜1的两点分布
A B C D
C
[解析] 适用中心极限定理的条件是X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且期望与方差均存在，B，D缺独立的条件，而A的期望不存在，故选C。
15. 设随机变量X
1，X
2，…，X
n独立同分布，且X
i有概率密度f
i(x)，记
，当”充分大时，有______。
- A.P可以根据fi(x)，i=1，2，…，n计算
- B.P不可以根据fi(x)，i=1，2，…，n计算
- C.P一定可以根据中心极限定理计算
- D.P一定不能根据中心极限定理计算
A B C D
A
[解析]
，而题中并未明确X
i的期望与方差是否存在，故不能用中心极限定理计算，选A。
计算题若随机变量X的密度函数为
，x≥0，C＞0，σ＞0，则称X服从截尾正态分布，记标准正态密度
，分布函数为Φ(t)，请回答下列问题：1. 求常数C的值(用μ，σ，φ，Φ表示)。
解：
得C=Φ(μ/σ)
2. 求随机变量X的期望(用μ，σ，φ，Φ表示)。
3. 求随机变量X的方差(注：该小题积分是积不出的)。
其中，α＞0称为形状参数，β＞0称为刻度参数，
。4. 求X的分布函数。
解：当x＞0时，
5. 求E(X)，D(X)及变异系数。
解：记
，由(1)易见Z～N(0，1)，又
，
，
进而
又由于E(Z
2)=1，E(Z
4)=3，同时考虑到被积函数是奇函数，则有
则
变异系数为
6. 设x≥0为随机变量，证明
，0＜λ＜1
证明：构造示性函数
则
EX=E[XI(X＞λEX)]+E[XI(X≤λEX)]
E[XI(X≤λEX)]≤λE(X)E[I(X≤λEX)]=λE(X)P(X≤λEX)≤λEX
由柯西-许瓦兹不等式：
由此
则
7. 若{X
n，n=1，2，…}是相互独立的随机变量序列，对每个n，X
n的分布列为
，问{X
n，n=1，2，…}是否服从马尔科夫大数定律?
解：E(X
n)=0，
，而
，于是马尔可夫大数定律成立。
8. 若{X
n，n=1，2，…}是相互独立的随机变量序列，对每个n，X
n的分布列为
，问马尔可夫条件是否成立?
解：E(X
n)=0，
，而
，故马尔可夫条件不成立。
9. 若{X
n，n=1，2，…)是相互独立的随机变量序列，对每个n，X
n的分布列为
，问马尔可夫条件是否成立?
解：E(X
n)=0，
，而
，故马尔可夫条件不成立。
10. 设在随机变量序列{X
n，n=1，2，…}中X
n仅与X
n-1及X
n+1相关，而与其他的随机变量都不相关，且对一切n，一致地有D(X
n)≤C(C为常数)，则{X
n，n=1，2，…}服从大数定律。
证明：
又
则
故
，{X
n，n=1，2，…}满足马尔可夫条件，即{X
n，n=1，2，…}服从大数定律。
11. 设{X
n，n=1，2，…}是相互独立的随机变量序列，且X
i，i=1，2，…的分布为
，则{Xn，n=1，2，…}不满足车贝雪夫大数定律的条件，但满足马尔可夫条件。
证明：注意到E(X
i)=0，
非一致有界，即{X
n，n=1，2，…}不满足车贝雪夫大数定律的条件。又
，则
；又
，则
，即{X
n，n=1，2，…}满足马尔可夫条件。
12. 一加法器同时受到20个噪声电压V
k，k=1，2，…，20的影响，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0，10)上服从均匀分布。记
，求P(V105)的近似值。
解：E(V
k)=5，D(V
k)=100/12，k=1，2，…，20，
近似服从正态分布N(0，1)，于是
13. 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率为p=1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角度大于3°的概率是多少?
解：将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。将在90000次波浪冲击中纵摇角度大于3°的次数记为X，则X是一个随机变量，且有X～B(90000，1/3)。其分布列为
，k=1，2，…，90000，所求的概率为
利用利莫弗-拉普拉斯定理来求它的近似值。即有
14. 求参加会议的家长人数X超过450的概率。
解：以X
k，k=1，2，…，400记第k个学生来参加会议的家长人数，则X
k的分布列为
P(X
k=0)=0.05，P(X
k=1)=0.8，P(X
k=2)=0.15
易知E(X
k)=1.1，D(X
k)=0.19，而
近似服从正态分布N(0，1)，于是
15. 求有1名家长来参加会议的学生人数不多余340的概率。
解：以Y记有1名家长参加会议的学生人数，则Y～B(400，0.8)。
16. 假设{X
i，i≥1}相互独立且都服从参数为λ的指数分布，记
，则当n→∞时，
依概率收敛于
；
依概率收敛于
；
依概率收敛于
；
证明：X
1，X
2，…，X
n，…独立同分布，X
i～Exp(λ)，
…独立同分布，
由辛钦大数定律知
又
，则
17. 一养鸡场购进1万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这批鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。
解：记事件A
k={第k只鸡蛋孵化成雏鸡}，B
k={第k只鸡蛋育成种鸡}。
记
k=1，2，…，10000，则{X
k，k=1，2，…，10000}是相互独立且同分布的随机变量，且
P(X
k=1)=P(B
k)=P(A
k)P(B
k|A
k)=0.84×0.9=0.756
显然，
表示10000只鸡蛋育成的种鸡数，
。所求概率为
，根据棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理可知
即由这批鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率为0.92。
而X～U(0，c)，Y～U(0，b)且相互独立，进而
依概率收敛于数学期望，只要{Xn，n≥1)______。
，
，P(X=15)=P(15-0.5≤
。
深色：已答题 浅色：未答题