解：(X₁，X₂)的联合密度为f_(X1，X2)(x₁，x₂)=φ(x₁)φ(x₂)，对-∞＜z＜+∞，
   有
   
   即Z服从标准柯西分布。

解：(X(1)，X(2))的联合密度函数为f_{(X(1)，X(2))}(x₁，x₂)=2φ(x₁)φ(x₂)，x₁≤x₂。
   的密度函数为。
   注意到x₁≤x₂，即x₂z≤x₂，(z-1)x₂≤0，也即，当z＜1时，x₂＞0；当x≥1时，x₂≥0。
   当z＜1时，
   当z＞1时，
   即Z₁服从标准柯西分布。

解：同理知，Z₂服从标准柯西分布。也即
   (X(1)，X(2))的联合密度为f_{(X(1)，X(2))}(x₁，x₂)=2φ(x₁)φ(x₂)，x₁≤x₂
   的密度函数为
   注意到x₁≤x₂，即x₁≤x₁z，(z-1)x₁≥0，也即，当z＜1时，x₁＜0；当z≥1时，x₁≥0。
   当z＞1时，
   当z＜1时，
   或者利用结论：若Z～t(1)，则有。

解：对y＞0，
   记Y_i=λX_i，i=1，2，…，n，则Y₁，Y₂，…，Y_n独立且同服从标准指数分布Exp(1)
   
   
   进而有

[解析] (1)X₍₁₎的密度函数为f_X(1)(y)=n[1-F(y)]^n-1-f(y)=nλe^-nλy，y＞0。易见X₍₁₎仍服从指数分布，此时参数为nλ，即₍₁₎～Exp(nλ)。
   (2)X_(n)的密度函数为f_X(n)(y)=n[F(y)]^n-1f(y)=nλe^-λy[1-e-λy]^n-1，y＞0，而X_(n)并不服从指数分布。
   (3)一般地，对j=1，2，…，X_(k)的j阶矩为
   
   (4)如果用随机变量X表示某种产品的寿命，从中抽取n个产品做寿命试验，试验做到有r个产品失效为止(被称为定数截尾寿命试验)，此时次序失效时间为X₍₁₎，X₍₂₎，…，X_(r)，统计量实质上是产品总的试验时间。

解：对y＞0，

解：对0≤y₁＜y₂＜…＜y_r，