计算题1. 为研究吸烟与慢性气管炎的关系，随机地抽查了205名50岁以上吸烟的人，其中有43人患有慢性气管炎，请计算有95%的把握可以认为有慢性气管炎的人数比例不低于多少。(保留四位)(z
0.025=1.96，z
0.05=1.645，Φ(1.96)=0.975，Φ(1.645)=0.95)
解：
，即比例不低于0.7793。
2. 设总体X
i，i=1，2服从正态分布
，X
1和X
2相互独立；由来自总体X
i，i=1，2的简单随机样本，得样本均值
和样本方差
。(1)证明：4个随机变量
，
相互独立。(2)假设μ
1=μ
2=μ，证明：
，其中，α
i是统计量：
解：设X
11，X
12，…，X
1n为来自
的一个简单随机样本，X
21，X
22，…，X
2m为来自
的一个简单随机样本。
(1)对-∞＜s，u＜+∞，t，v＞0，
(2)易见α
1与
独立，α
2与
独立。
3. 设F(x)是总体X的分布函数，F
n(x)是基于来自总体X的容量为n的简单随机样本的经验分布函数。对于任意给定的x，-∞＜x＜+∞，试求F
n(x)的概率分布、数学期望和方差。
解：设n
x表示在总体X的n次抽样事件(X≤x)出现的次数，则n
x～B(n，F(x))经验分布函数
可以表示为
4. 已知(X，Y)的概率密度为
求证明：
服从参数为(1，1)的F分布。
证明：
则(X，Y)服从二元正态分布，且X～N(0，2
2)，Y～N(1，3
2)，X，Y独立。
则
5. 设总体X服从标准正态分布N(0，1)，X
1，X
2，…，X
2n是来自总体为X，容量为2n的简单随机样本，求下列统计量的分布。
解：X
i～N(0，1)，i=1，2，…，2n，由于X
1～N(0，1)，
，则
由于
，则
由于E(X
2i-1+X
2i)=0，D(X
2i-1+X
2i)=2
则Y
3～χ
2(n)
6. 设总体X服从具有E(X)=0，
的正态分布，X
1，X
2，X
3为总体X的一个简单随机样本。记Y
1=(X
1-X
2)
2，
，试问Y
1，Y
2，Y
3各统计量分别服从什么分布?
解：令σ=1/8，则X～N(0，σ
2)
而X
1-X
2～N(0，2σ
2)，
于是
的密度函数为
，y
1＞0
又
，且两者独立，则有
进而Y
2的密度函数为
又
，由于
，且两者独立，则有
服从柯西分布。
进而Y
3的密度函数为
7. 设X
1，X
2是来自正态总体N(μ，σ
2)的一个简单随机样本，则(X
1+X
2)
2与(X
1-X
2)
2相互独立。
证明：方法一：由于
，则有费歇定理知X
1+X
2与(X
1-X
2)
2独立，进而(X
1+X
2)
2与(X
1-Y
2)
2也独立。
方法二：X
1+X
2～N(2μ，2σ
2)，X
1-X
2～N(0，2σ
2)，
且矩阵
可逆，则
服从二维正态分布。而
故X
1+X
2，X
1-X
2不相关，进而也独立，于是有(X
1+X
2)
2与(X
1-X
2)
2相互独立。
方法三：X
1，X
2的联合密度为
令
则
由此，Y
1，Y
2的联合密度为
即得Y
1～N(2μ，2σ
2)，Y
2～N(0，2σ
2)，且Y
1，Y
2相互独立，进而(X
1+X
2)
2与(X
1-X
2)
2也相互独立。
8. 若总体X～N(μ，1)，X
1，X
2，…，X
n为X的一个样本，证明
为充分统计量。
9. 当n很大时(通常n＞45)则
。
证明：利用中心极限定理求其近似值，即
由于
，则有
。
10. 设X
1，X
2，…，X
n独立同分布N(μ，σ
2)，令
，i=1，2，…，n，问
服从什么分布，k=1，2，…，n-1。
解：
于是Z
k是独立正态分布随机变量X
1，X
2，…，X
k，X
n的线性组合，所以Z
k服从正态分布。
而
D[(k+1)V
k+V
k+1+…+V
n-1]=D[(-X
1-X
2-…-X
k-1)+kX
k-X
n]
=D(X
1)+…+D(X
k-1)+k
2D(X
k)+D(X
n)
=[(k-1)+k
2+1]σ
2=(k
2+k)σ
2 由此(k+1)V
k+V
k+1+…+V
n-1～N(0，(k
2+k)σ
2)，标准化后即Z
k～N(0，1)。
11. 已知X
1，X
2，X
3独立且服从N(0，σ
2)分布，证明
。
证明：记Y
1=X
2+X
3，Y
2=X
2-X
3，则E(Y
1)=E(Y
2)=0，D(Y
1)=D(Y
2)=2σ
2。
由于X
2，X
3独立且同服从N(0，σ
2)，则Y
1～N(0，2σ
2)，Y
2～N(0，2σ
2)。
又
，且矩阵
可逆，则(Y
1，Y
2)服从二维正态分布。再者，又
故Y
1，Y
2独立且同服从N(0，2σ
2)分布并与X，独立。
对任意的x
1，y
1，y
2，P(X
1≤x
1，Y
1≤y
1，Y
2≤y
2)=P(X
1≤x
1，(Y
1≤y
1，Y
2≤y
2))
=P(X
1≤x
1)P(Y
1≤y
1，Y
2≤y
2)=P(X
1≤x
1)P(Y
1≤y
1)P(Y
2≤y
2)
即有X
1，Y
1，Y
2相互独立，进而X
1+X
2+X
3与X
2-X
3也相互独立。
又
，则
。
12. 设(X
1，X
2)是取自正态总体X～N(0，σ
2)的一个样本，求
。
解：由于X
1+X
2～N(0，2σ
2)，X
1-X
2～N(0，2σ
2)，
，且矩阵
可逆，则
服从二维正态分布。而
故X
1+X
2，X
1-X
2不相关，进而也独立，于是有(X
1+X
2)
2，(X
1-X
2)
2相互独立。又
由此
记
的密度函数为f
Y(y)，
所以
13. 设总体X的均值μ与方差σ
2存在，X
1，X
2，…，X
n为总体X的一个简单随机样本，试证明：对i≠j，
的相关系数：
。
证明：对i=1，2，…，n，有
对i≠j，
的协方差为
对i≠j，
的相关系数为
14. 设总体X的分布函数F(x)严格单调增加，X
1，X
2，…，X
n是来自总体X的一个简单随机样本，则有
。
证明：由于分布函数F(x)严格单调增加，则F(X)～U[0，1]，1-F(X)～U[0，1]，
进而有-lnF(X)～Exp(1)，-ln[1-F(X)]～Exp(1)，
-2lnF(X)～χ2(2)，-2ln[1-F(X)]～χ2(2)
由于X1，X2，…，Xn相互独立且同分布，则-2lnF(X1)，-2lnF(X2)，…，-2lnF(Xn)相互独立且同服从χ2(2)；-2ln[1-F(X1)]，-2ln[1-F(X2)]，…，-2ln[1-F(Xn)]也相互独立且同服从χ2(2)。由χ2分布的可加性知
15. 设总体X～N(0，1)，X
1，X
2，X
3为其一个简单随机样本，试证明：
相互独立，且分别服从χ
2(2)与χ
2(1)。
证明：由于
其中，X'=(X
1，X
2，X
3)。又
，n=3，而A
1，A
2的秩分别为n
1=2，n
2=1，即n
1+n
2=3=n。由柯赫伦定理：Q
1～χ
2(2)，Q
2～χ
2(1)，且相互独立。
16. 设X
1，X
2，X
3，X
4相互独立同服从N(0，1)，令Y=X
1X
2+X
3X
4，则Y的密度函数为
证明：注意到
作如下线性变换：
则(Y
1，Y
2，Y
3，Y
4)'=A(X
1，X
2，X
3，X
4)'，其中
则
即矩阵A是正交阵，也即上述线性变换为正交变换。
则
由于X
1，X
2，X
3，X
4相互独立同服从N(0，1)，经过正交变换后得到的Y
1，Y
2，Y
3，Y
4也是独立且同服从N(0，1)，于是
，且两者独立。
又
下面求
的分布函数
当y＜0，
当y≥0，
进而得Y的密度函数为
，
。17. 证明：E(T)=μ
2。
解：由费歇定理知：
，又ES
2=σ
2由此
18. 当μ=0，σ=1时，求D(T)。
解：当μ=0，σ=1时，即X
1，X
2，…，X
n是总体X～N(0，1)的一个简单随机样本。由费歇定理知：
，(n-1)S
2～χ
2(n-1)，
与S
2独立，进而
与S
2独立。注意到
，进而
，又注意到
，又
因此，
19. 设(X
i，X
j)，i=1，2，…，n是来自二维正态分布
的一个简单随机样本，记
，求统计量
的分布。
解：注意到
令Z
i=X
i-Y
i，
由此
又
，i=1，2，…，n，则X
i-Y
i也服从正态分布。
而
即Z
i～N(μ
1-μ
2，(σ')
2)，由此
。
又
则
20. 设X
1X
2，…，X
m；Y
1，Y
2，…，Y
n独立。X
i～N(a，σ
2)，i=1，2，…，m，Y
i～N(b，σ
2)，i=1，2，…，n，
，
，而α，β为常数。试求
的分布。
解：由于X
i～N(a，σ
2)，i=1，2，…，m，Y
i～N(b，σ
2)，i=1，2，…，n；且X
1，X
2，…，X
m，Y
1，Y
2，…，Y
n相互独立，则
也服从正态分布。
所以
，而又
，且
独立，则
对-∞＜t
1，t
2＜+∞，s
1，s
2＞0，则有
则
相互独立，进而
与
独立，则
，由因子分解定理知
为充分统计量。
深色：已答题 浅色：未答题