计算题设X1，X2，…，Xn是来自总体X～U[0，θ]的一个简单随机样本，证明：1.
不是θ的相合估计。
证明：
，即
为θ的无偏估计。为证
不是θ的相合估计，只需要证明：对任意ε＞0，
。
注意到|2X
1-θ|≥ε等价于2X
1-θ≥ε或2X
1-θ≤-ε，也即
则有
，即
不是θ的相合估计。
2. 对任意给定的常数a，b，
是θ的相合估计。
证明：又由于
进而由定理可知
是θ的相合估计。
注 参数θ的极大似然估计X
(n)，θ的无偏估计
都是θ的相合估计。
3. 设X
1，X
2，…，X
n是取自总体X～U[0，θ]的一个简单随机样本，试证
都是θ的无偏估计，并问这两个估计中哪个更有效?
证明：
由此，
，即
都是θ的无偏估计。
易见，当n＞1时，有
，即
的方差较小，其更有效。
4. 设X
1，X
2…X
n是取自总体
的一个简单随机样本，试证
和
都是θ的无偏估计，并问这两个估计中哪个更有效?
证明：易知
当n≤2时，
；而当n＞2时，
，故
更有效。
5. 设X
1，X
2，…，X
n是来自总体X～N[0，θ]的一个简单随机样本，θ的极大似然估计
，而其无偏估计
，其均方误差
解：现考虑如下形式
的估计，其均方误差
当a取
时，上述均方误差达到最小值，且
，这表明
虽为θ的有偏估计，但其均方误差
即在此均方误差的标准下，有偏估计
优于无偏估计
。
6. 设X
1，X
2，…，X
n来自正态总体X～N(μ，σ
2)的一个简单随机样本，由于
是σ
2的无偏估计量，
是σ
2的极大似然估计。求在σ
2的估计类
中具有最小均方误差的σ
2的估计量。
解：由于
MSE(T
c)=D(T
c)+[E(T
c)-σ
2]
2=2c
2(n-1)σ
4+[c(n-1)σ
2-σ
2]
2 ={2c
2(n-1)+[c(n-1)-1]
2}σ
4 令函数g(c)=2c
2(n-1)+[c(n-1)-1]
2，c＞0
g'(c)=4c(n-1)+2[c(n-1)-1](n-1)=0，并令g'(c)=0，解得
又
，则当
时，g(c)取得最小值。
由此，在此估计类中具有最小均方误差的σ
2的估计量为
。
7. 设正态总体X～N(0，σ
2)，从中抽取容量为4的随机枰本X
1，X
2，X
3，X
4，
令
(1)分别求常数b
1，b
2，b
3，使b
1Q
1，b
2Q
2，b
3Q
3是方差σ
2的无偏估计量。
(2)比较(1)中3个无偏估计量的优劣。
(3)基于Q
2构建σ
2的一个95%的置信区间。
解：(1)
(2)
，即b
2Q
2更有效。
(3)
，于是有
，则σ
2在95%置信水平下的置信区间为
两个独立样本的均值和标准差 
8. 设n
1=n
2=100，求μ
1-μ
2的95%的置信区间。
解：由于两个样本均为独立大样本，
未知。当α=0.05时，z
0.05/2=1.96，μ
1-μ
2的95%的置信区间为
9. 设n
1=n
2=10，
，求μ
1-μ
2的95%的置信区间。
解：由于两个样本均为来自正态总体的独立小样本，当
未知但相等时，
当α=0.05时，t
0.05/2(10+10-2)=2.101，μ
1-μ
2的95%的置信区间为
10. 设n
1=n
2=10，
，求μ
1-μ
2的95%的置信区间。
解：由于两个样本均为来自正态总体的独立小样本，
未知且不相等，n
1=n
2=10。因此，μ
1-μ
2的95%的置信区间为
。自由度的计算如下：
当α=0.05时，t
0.05/2(17)=2.11。μ
1-μ
2的95%的置信区间为
，即(-2.003，6.003)
11. 设n
1=10，n
2=20，
，求μ
1-μ
2的95%的置信区间。
解：由于两个样本均为来自正态总体的独立小样本，
未知但相等，n
1≠n
2。此时
当α=0.05时，t
0.05/2(10+20-2)=2.048。μ
1-μ
2的95%的置信区间为
12. 设n
1=10，n
2=20，
，求μ
1-μ
2的95%的置信区间。
解：由于两个样本均为来自正态总体的独立小样本，
。未知且不相等，n
1≠n
2。因此，μ
1-μ
2的95%的置信区间为
。自由度的计算如下：
当α=0.05时，t
0.05/2(20)=2.086。μ
1-μ
2的95%的置信区间为
，即(-1.364，5.364)
13. 由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如表所示。
| 测试结果对比 |
| 学生编号 | 试卷A | 试卷B | 差值d |
| l | 78 | 71 | 7 |
| 2 | 63 | 44 | 19 |
| 3 | 72 | 61 | 11 |
| 4 | 89 | 84 | 5 |
| 5 | 91 | 74 | 17 |
| 6 | 49 | 51 | -2 |
| 7 | 68 | 55 | 13 |
| 8 | 76 | 60 | 16 |
| 9 | 85 | 77 | 8 |
| 10 | 55 | 39 | 16 |
假定两套试卷分数之差服从正态分布，试建立两套试卷平均分数之差μ
d=μ
1-μ
2的95%的置信区间。
解：计算得
，而t
0.025(9)=2.2622，则两套试卷平均分数之差μ
d=μ
1-μ
2的95%的置信区间为
两套试卷平均分数之差的95%的置信区间为6.3分～15.7分。
14. 设X
1，X
2，…，X
n是取自
的一个简单随机样本，求e
-θ的置信水平为1-α的单侧置信下限。
解：由于对i=1，2，…，n，
，且
相互独立，则
。
即θ的置信水平为1-α的置信上限为
，而e
-θ的置信水平为1-α的置信下限为
15. 设X
(1)，X
(2)，…，X
(n)为来自两参数指数分布总体X～Exp(μ，1/θ)的一个容量为n的前n个次序统计量，总体的密度函数为
，θ＞0，给定显著性水平α，求参数μ，θ的置信水平1-α的置信区间。
解：令
，i=1，2，…，n，则Y
(1)，Y
(2)，…，Y
(n)与来自标准指数分布Exp(1)的容量为n的前n个次序统计量同分布。
易见，nY
(1)，(n-1)(Y
(2)-Y
(1))，…，(Y
(n)-Y
(n-1))相互独立且同服从标准指数分布Exp(1)，进而2nY
(1)，2(n-1)(Y
(2)-Y
(1))，…，2(Y
(n)-Y
(n-1))相互独立且同服从χ2(2)
进而θ的置信水平1-α的置信区间为：
则参数μ的置信水平1-α的置信区间为
也可以进行如下方式处理：
而k取值通常取为
16. 某居民小区有居民500户，小区管理者准备采用一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。管理者采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。(1)当置信水平为95%时，求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间。(2)如果管理者预计赞成的比率能达到80%，置信水平为95%时，要求允许误差不超过10%，应抽取多少户进行调查?
解：(1)样本容量n=50＞30，可视为是一个大样本，由中心极限定理知，总体中赞成该项改革的户数比率π的抽样分布近似服从均值为p，方差为p(1-p)/n的正态分布。此时可用样本方差来代替总体方差，则总体中赞成该项改革的户数比率95%的置信区间为
即总体中赞成该项改革的户数比率95%置信区间为(50.7%，77.3%)。
(2)允许误差范围为不超过10%，即
，解得n≥62，说明要求允许误差不超过10%，至少应抽取62户进行调查。
17. 设某批产品的废品率为p，从这批产品中抽取一个样本X
1，X
2，…，X
n，取p的先验分布π(p)为[0，1]上的均匀分布，求p的贝叶斯估计。
解：
由贝塔函数
的定义及性质
，得
所以p的后验分布为
因此p的贝叶斯估计
为
注 用经典方法构造的p的估计
时(即样本中无废品时)，估计
时(即样本中均是废品时)，估计
。这样的估计似乎太极端了，有点不切实际，但当样本容量n较小时这样的情形难以避免。而按贝叶斯估计
这样的估计留有余地，给人以比较可靠之感。这个例子也是贝叶斯方法受到人们重视的一个原因。
18. 设总体X～N(μ，σ
2)，σ
2已知，X
1，X
2，…，X
n是来自总体X的一个简单随机样本，取π(μ)=1，-∞＜μ＜+∞，求μ的贝叶斯估计。
19. 已知某种电视机的寿命服从指数分布密度，
，其中θ＞0为电视机的平均寿命(原题用的符号为λ)，现在随机抽取n台进行寿命测试，试验到第r台失效为止，并且这些失效时间为t
1≤t
2≤…≤t
r，其余n-r台直到试验结束还未失效。请回答下列问题：(1)求电视机平均寿命θ的极大似然估计。(2)若θ的先验分布为
，其中，θ＞0，a＞0，b＞0，求电视机平均寿命θ的贝叶斯估计。
解：(1)似然函数为
则参数θ的极大似然估计为
。
(2)后验密度函数为
进而θ的贝叶斯估计为
20. 设总体
已知，X
1，X
2，…，X
n是来自总体X的一个简单随机样本，取π(μ)=1，-∞＜μ＜+∞，求μ的贝叶斯置信区间。
解：可知，在题设条件下μ的后验分布为
所以
由
得
μ的贝叶斯区间估计为
与经典方法得到的一致。
，μ的贝叶斯估计为
。
深色：已答题 浅色：未答题