计算题1. 从正态总体X～N(μ，σ
2)中抽取容量为n的样木，试证明：若σ已知，则在关于μ的置信度为0.95的置信区间中，
是最短的。
事实上证明如下结论：设总体X～N(μ，σ
2)，X
1，X
2…X
n为总体X的一个简单随机样本，在给定置信水平1-α下，
(1)若方差
已知时，利用枢轴量
求得的均值μ的区间估计中的最短区间估计为
(2)方差σ
2未知时，利用枢轴量
求得的均值μ的区间估计中的最短区间估计为
证明：仅(1)考虑到t(n-1)分布与标准正态分布密度函数图形类似，其密度函数曲线单峰且y轴对称，所以(2)完全可类似于(1)给出证明。
由于
，选取a，b，a＜b，使
于是
则均值μ的置信水平为1-α的置信区间为
，而此区间的平均长度为
，选取a，b，使L达到最小。
又1-α=P(a≤U≤b)=Φ(b)-Φ(a)，其中记Φ(x)，φ(x)分别为标准正态分布N(0，1)的分布函数和密度函数。
，从中解得φ(a)=φ(b)。考虑到N(0，1)的密度函数单峰且y轴对称，又a＜b，则a＜b，b＞0，b=-a。
即在a＜0，b＞0，b=-a下，
取极小值。进而可得
即均值μ的置信水平为1-α的最短的区间估计为
。
2. 为研究儿童看电视的习惯，社会学家从10000名儿童中无放回地随机抽取n=50个儿童作为样本，得到每周看电视的平均时间为12.5小时，样本标准差为2.2小时；样本中男孩为27名。
(1)估计儿童每周平均看电视时间的95%的置信区间。
(2)估计总体中男孩人数的95%的置信区间。
(3)在(1)中，若总体人数为500人，其他条件不变，相应的置信区间是多少?
(4)在(1)中，若平均看电视时间的允许误差(即抽样极限误差)缩小为原来的一半，应抽取多少儿童作为样本?(已知：Z
0.025=1.96)
解：(1)已知n=50属大样本，置信水平1-α=95%，Z
α/2=1.96。
又
，s=2.2，则儿童每周平均看电视时间的95%的置信区间为
，即12.5±0.61=(11.9，13.1)，即11.9～13.1小时。
(2)已知n=50，1-α=95%，样本比例为
，用样本比例p来代替总体比例π，则总体比例的置信区间可表示为
即54%±7.05%=(46.95%，61.05%)，总体中男孩人数的95%的置信区间为(46.95%×10000，61.05%×10000)，即4695～6105名。
(3)其他条件不变，即仍从500名儿童中无放回随机抽取n=50个儿童作为样本。在大样本情况下，其样本均值的抽样分布仍然服从正态分布，因此置信区间不变，为(11.9，13.1)。
(4)记允许误差为d，则样本量计算公式为
，总体方差未知，用样本方差代替，即为
。若d缩小为原来的一半，则n扩大为原来的4倍，即为200个。
-∞＜θ＜+∞，X1，X2，…，Xn为其子样。3. 求参数θ的极大似然估计。
解：似然函数为
。易见当
时，L(θ)取到最大值1，此时
，于是参数θ的极大似然估计为
中的任何值。
4. 证明子样平均
及
都是θ的无偏估计量，问哪个较有效?
解：由于
，则
注意到有如下结论：
设总体X～N[θ
1，θ
2]，则
易见，n=1，2时两者相等，而当n＞2时，
。
5. 设总体X服从
已知，X
1，X
2，…，X
n是来自总体X的一个简单随机样本，假定参数a服从N(0，1)，试求a的置信水平为1-α的贝叶斯区间估计。
解：
于是在给定样本X
1，X
2，…，X
n的条件下，参数a的后验分布函数为
，则Z服从N(0，1)，且有
贝叶斯置信区间的中心是a的贝叶斯估计
，区间长度
，由此，贝叶斯区间估计的精度比经典的区间估计要高。
6. 设离散总体X的分布如表所示。其中θ，0＜θ＜0.5是未知参数，利用总体的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求参数θ的矩估计值和极大似然估计。
| X的分布列 |
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | θ2 | 2θ(1-θ) | θ2 | 1-2θ |
解：(1)EX=0·θ
2+1·2θ(1-θ)+2·θ
2+3·(1-2θ)=3-4θ
又
由矩估计思想建立方程3-4θ=2，从中解得参数θ的矩估计为
。
(2)似然函数(其中，C
+为正常数)为
L(θ)=P(X
1=x
1，X
2=x
2，…，X
8=x
8)=C
+P(X
1=3，X
2=1，…，X
8=3)
=C
+θ
2·[2θ(1-θ)]
2·θ
2·(1-2θ)
4=C
+4θ
6+(1-θ)
2(1-2θ)
4 lnL(θ)=lnC
++ln4+6lnθ+2ln(1-θ)+4ln(1-2θ)，
，从中解得
(另一根大于0.5)。
，于是参数θ的极大似然估计为
。
。8. 试比较
的有效性。
解：易见，当n=1时，
。
当n＞1时，令函数g(x)=x
2-7x-2，x＞1，易见g(1)=-8；且当1＜x＜3.5时，g(x)严格单调下降；当x＞3.5时，g(x)严格单调增加。记
，即有g(x
0)=0进而，当1＜x＜x
0时，g(x)＜0，(x-1)g(x)＜0，即x
3-8x
2+5x+2＜0，也即12x
2＞x
3+4x
2+5x+2，
；当x＞x
0时，g(x)＞0，(x-1)g(x)＞0，即x
3-8x
2+5x+2＞0，也即12x
2＜x
3+4x
2+5x+2，
由此，当2≤n≤7时，
；当n≥8时，
。
注 将此题作稍许改动：(1)求参数a的矩估计
。(2)求参数a的极大似然估计。(3)记
，证明
都是参数a的无偏估计，并指出哪个估计较优?
由于
，由矩估计思想列方程
，即参数a的矩估计为
。
又似然函数为L(a)=1，a≤x
1，x
2，…，x
n≤a+1，也即L(a)=1，a≤x
(1)，x
(2)，…，x
(n)≤a+1，由此满足[X
(n)-1，X
(1)]中的任何值都可以作为参数a的极大似然估计。易见
也为参数a的极大似然估计。
再者
，即
为参数a的无偏估计。
，即
为参数a的无偏估计。
当n=1，2时，
；当n≥3时，
。
当n=1时，
；当n≥2时，
。
综上，当n=1时，
；当n=2时，
；当3≤n≤7时，
；当n≥8时，
。即
作为参数a的无偏估计较优。
9. 设总体X具有概率密度函数
其中k为已知正整数。从该总体中随机地抽取一简单随机样本X
1，X
2，…，X
n，求θ的极大似然估计，并问这个估计量是否为无偏估计量?
解：
由于X～Γ(k，θ)，则
，其密度函数为
，
，即
不是θ的无偏估计，而是近似无偏估计。
10. 设(X
1，Y
1)，(X
2，Y
2)，…，(X
n，Y
n)是取自二维正态总体
的一个简单随机样本，求
，ρ的极大似然估计。
解：
分别对
，ρ求导，并令其为0，得如下方程组
将上述第一、二方程式代人第三个方程式得
，化简得
，并将其代入第一、第二个方程式得
。
另解 易知，
，且X，Y的相关系数为ρ，于是X
1，X
2，…，X
n为来自正态总体
的一个简单随机样本，Y
1，Y
2，…，Y
n为来自正态总体Y～N(0，σ
2)的一个简单随机样本，参数
的MLE为
。又由上述第一个方程式可得参数ρ的MLE为
。
11. 设总体X的密度函数为
，-∞＜θ＜+∞，-∞＜x＜+∞，而X
1，X
2，…，X
n是来自总体X的一个简单随机样本，求参数θ的极大似然估计。
解：似然函数为
记样本观察值x
1，x
2，…，x
n中不大于θ的有k个，即有
x
(1)≤x
(2)≤…≤x
(k)≤θ＜x
(k+1)≤x
(k+2)≤…≤x
(n) 
由此得θ的极大似然估计为样本的中位数，即
12. 若μ已知，试适当选择k，使
为σ的无偏估计，并求其方差。
13. 若μ未知，试适当选择k，使
为σ的无偏估计，并求其方差。
14. 若μ已知，试适当选择k，使
为σ的无偏估计，并求其方差。
解：注意到
当i=1，2，…，n时，X
i～N(μ，σ
2)，
15. 若μ未知，试适当选择k，使
为σ的无偏估计。
16. 设总体X服从[θ-λ，θ+λ]上的均匀分布，即X～U[θ-λ，θ+λ]，-∞＜θ＜+∞，λ＞0，而X
1，X
2，…，X
n为来自总体X的容量为n的一个简单随机样本。求
(1)参数θ，λ的矩估计
，并计算其数学期望与方差。
(2)参数θ，λ的极大似然估计
，并计算其数学期望与方差。
(3)将参数λ的极大似然估计
作修正，记为λ
3，使
为λ的无偏估计，并求其方差。
(4)θ的矩估计与极大似然估计，哪个更有效?
解：易知E(X)=θ，
，下面求参数θ，λ的矩估计与极大似然估计。
(1)由矩估计思想可建立方程组
，则
参数θ，λ的矩估计分别为
(2)似然函数为
则参数θ，λ的极大似然估计
满足
，即
容易计算得
(3)
不是参数λ的无偏估计，将其进行修偏，即
此时，其方差为
(4)关于
的比较：当n=2时，
；而当n≥3时，
，即
更有效。
17. 设总体X的密度函数为
，0＜x＜θ，θ是未知参数。假定X
1是总体X的一个样本容量为1的简单随机样本，试求θ的置信水平为1-α的置信区间。
解：
，易知Y
1的密度函数f
Y1(y)，f
Y1(y)与分布函数分别为
f
Y1(y)=2(1-y)，F
Y1(y)=2y-y
2，0＜y＜1
为一枢轴量，且对θ单调下降。
对给定置信水平1-α，
其中，λ
1，λ
2满足
，即
，于是有
所以，θ的置信水平为1-α的置信区间为
。
为统计量，
为前n个样本之和大于第n+1个样本的概率，从而h(p)为p的函数。18. 证明：
是参数p的充分统计量。
证明：(X
1，X
2，…，X
n，X
n+1)的联合分布列为
为充分完备统计量。
20. 寻找h(p)的最小方差无偏估计(需要写出具体形式)。
证明：
显然，若t=0是不合适的。
若t=1，则
若t=2，则
若t≥3，则
而X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个容量为n的样本。21. 可否利用样本的一阶矩
求参数θ的矩估计，为什么?
解：由于总体X服从对称拉普拉斯分布，其数学期望E(X)=0，不含未知参数θ，所以无法建立样本一阶矩等于总体一阶矩的方程。
22. 利用样本的二阶矩
求参数θ的矩估计。
解：易见E(X
2)=2θ
2，即θ的矩估计为
。
23. 利用样本的一阶绝对矩
求参数θ的矩估计。
解：易见E(|X|)=θ，即θ的矩估计为
。
24. 求参数θ的极大似然估计，并求其期望与方差。
解：由于X～L(θ)，其密度函数可表示为
，此时似然函数为
即参数θ的极大似然估计为
。
又由于|X|～Exp(1/θ)，则
。
25. 设总体X服从参数为θ
1＞0，θ
2＞0的两参数非对称拉普拉斯分布，即x～L(θ
1，θ
2)，其密度函数为
而X
1，X
2，…，X
n为来自总体X的一个容量为n的样本。(1)利用样本的一阶矩
，求参数θ
1，θ
2的矩估计。(2)利用样本的一阶矩
与一阶绝对矩
，求参数θ
1，θ
2的矩估计，并求其方差与协方差。(3)求参数θ
1，θ
2的极大似然估计。
解：
(1)由矩估计思想建立方程
对样本附加条件一，即
对样本附加条件二，即
综合附加条件一与附加条件二，即要求样本满足
，此时参数θ
1，θ
2的矩估计为
(2)由矩估计思想建立方程
此时参数θ
1，θ
2的矩估计为
(3)将样本x
1，x
2，…，x
n从小到大排序，其中前r个小于0，后n-r个大于等于0，即
x
(1)≤x
(2)≤…≤x
(r)＜0≤x
(r+1)≤…≤x
(n) 此时似然函数(其中C
+为正常数)为
即得参数θ
1，θ
2的极大似然估计为
，所以
为σ的无偏估计。求其方差
为σ的无偏估计。求其方差
是h(p)的无偏估计量。
深色：已答题 浅色：未答题