D

[解析] 区域D为一个圆域，且其面积S=4π．
   由二重积分的性质可得=2·S=8π．

C

[解析] 函数可能的极值点分为两种：一种是在该点处的导数值不存在的点；另一种是使得一阶导数值为零的点(即驻点)．因此可知C选项描述准确．

C

[解析] =-1≠0，显然点(1，0)不是驻点，故其处无极值．

B

[解析] 齐次微分方程y"+3y'=0所对应的特征方程为r²+3r=0，
   解得特征根为r₁=-3，r₂=0．而非齐次方程的自由项为f(x)=x²，且α=0为单特征根．因此原方程的特解可设为y^*=x(Ax²+Bx+C)．

A

[考点] 本题考查一元函数的导数及其极限．
   [解析] 因为=xln(x+1)+C，所以f(x)=[xln(x+1)+C]'=ln(x+1)+，故=2．

C

[解析] 直线的方向向量为s=(3，-1，1)，平面的法向量为，n=(1，2，-1)．由于对应坐标不成比例，可知方向向量与法向量不平行．而s·n=3·1-1·2+1·(-1)=0，可知直线与平面平行．又知直线过点(1，-1，2)，且经验证该点在平面上，故直线在平面上．

D

[解析] 由于函数y=x²-x+1在区间[-1，3]上连续，在区间(-1，3)内可导，因此在[-1，3]上，y满足拉格朗日中值定理条件．又y'=2x-1，则存在ξ∈(-1，3)，使得
   f(3)-f(-1)=(2ξ-1)[3-(-1)]，
   即4(2ξ-1)=7-3，解得ξ=1．

A

[解析] 由于f(x)是分段函数，且在各自区间内连续可导，因此
  
   又=0=f'(0)，故函数f(x)在x=0可导．

D

[解析] y'+y=0为可分离变量微分方程，分离变量得=-dx．
   两边同时积分，可得通解为ln|y|=-x+C₁，即y=Ce^-x．

B

[解析] 当x→0时，变上限积分sintdt→0，且e^-x-1→0．由洛必达法则，得
  

2x+y-3z=0

[考点] 本题考查平面方程和平面与直线的关系．
   [解析] 由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．
   由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=0．

[解析] 解法一 将方程两端对x求导，可得3x²-3y²y'-3y-3xy'=0．
   整理得 y'=
   解法二 方程两端取微分，可得
   d(x³-y³-3xy-9)=3x²dx-3y²dy-3(ydx+xdy)
   =(3x²-3y)dx-(3y²+3x)dy=0．
   因此 y'=

ln|x+cosx|+C

[解析] 利用凑微分法求解该不定积分，则有
   =ln|x+cosx|+C．

(0，0)

[解析] 由y=x³-6x，得y'=3x²-6，y"=6x．令y"=0，得到x=0．
   当x=0时，y=0．当x＜0时，y"＜0；当x＞0时，y"＞0．
   因此点(0，0)是曲线y=x³-6x的拐点．

y=

[解析] 方程y'=2xy为可分离变量微分方程，分离变量可得=2xdx．
   两边同时取积分可得lny=x²+C₁，即通解为y=．

+x+1

[解析] 由f'(e^x)=1+e^2x，可知f'(x)=1+x²．两端积分可得
   =，即f(x)=+x+C．
   又f(0)=C=1．因此f(x)=+x+1．

[考点] 本题考查直线的方程和直线与直线的关系．
   [解析] 由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为．

-1

[解析] f'(x)=3x²+3p，f'(1)=3+3p=0，所以p=-1．

2

[解析] 由于当x→0时，-1与x²是等价无穷小，则
  
   因此可得a=2．

x-2y-3z=0

[解析] 由于已知直线与平面垂直，且直线的方向向量为(1，-2，-3)，因此所求平面的法向量可取为(1，-2，-3)．又平面过点(1，2，-1)，由平面的点法式，可得平面方程为(x-1)-2(y-2)-3(z+1)=0，即x-2y-3z=0．

解法一 分母先有理化，可得
  
   解法二 换元法．令t=，则x=t²，且当x→1时，t→1．因此
  

解法一 当x→-8时，分子分母均趋于零，所求极限符合洛必达使用条件．
  
   解法二 用变量替换法进行求解．
   令t=，则x=t³，且当x→-8时，t→-2．因此
  

由积分区域的图形特征以及被积函数的特征可知，积分区域D既可以表示成X型区域，又可以表示成Y型区域．
   解法一 当积分区域看成X型区域时(即先对y积分，再对x积分)，区域D可表示为
   0≤x≤1， x≤y≤1．
   因此
   解法二 当积分区域看成Y型区域时(即先对x积分，再对y积分)，区域D可表示为
   0≤Y≤1，0≤x≤y．
   因此

由积分区域D的图形特征可知，把二重积分转化为先对x积分，再对y积分的二次积分更容易求解．此时积分区域D可表示为
   0≤x≤y²+1.0≤y≤1．
   因此

本题考查形式为参数方程的函数的求导的相关知识．
   由于 =6t²+6t=6t(t+1)，=e^t+te^t=(t+1)e^t，
   因此

联立方程组
   解得唯一驻点(-1，)．并在该驻点处，
   A==2e，B==0，C==2e．
   由于AC-B²=4e²＞0，且A＞0，
   因此(-1，)为极小值点，且极小值为f(-1，)=．

齐次微分方程y"-2y'-3y=0对应的特征方程是
   r²-2r-3=0．
   解得特征根r₁=-1，r₂=3．
   因此齐次方程的通解为Y=C₁e^-x+C₂e^3x．
   原非齐次微分方程的自由项为f(x)=e^-2x，且α=-2不是特征根．
   则可设y^*=Ae^-2x为原非齐次方程的一个特解，代入该方程可得
   4Ae^-2x+4Ae^-2x-3Ae^-2x=e^-2x．
   解得A=．则y^*=．因此原微分方程的通解为
   y=Y+y^*=C₁e^-x+C₂e^3x+(C₁，C₂为任意常数)．

解法一 将y=e^t，x=t³+t代入z=xy²，则有
   z=(t³+t)e^2t．
   此时z变成关于t的一元函数．因此可得
   =(3t²+1)e^2t+(t³+t)2e^2t
   =(2t³+3t²+2t+1)e^2t．
   进而 dz=(2t³+3t²+2t+1)e^2tdt．
   解法二 利用复合函数的求导法则求解．首先可知
  
   又 =y²=e^2t，=2xy=2(t³+t)e^t．
   =3t²+1，=e^t．
   因此 =e^2t(3t²+1)+2(t³+t)e^te^t
   =(2t³+3t²+2t+1)e^2t．
   进而 dz=(2t³+3t²+2t+1)e^2tdt．