单项选择题2. 设z=z(x,y)是由方程xz-xy+ln(xyz)=0所确定的可微函数,则
等于______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 将xz-xy+ln(xyz)=0两边对y求偏导,得
整理得:
3. 若z=f(x,y)和y=φ(x)均可微,则
等于______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
10. 下列各点中为二元函数x=x
3-y
3-3x
2+3y-9x的极值点的是______。
- A.(3,-1)
- B.(3,1)
- C.(1,1)
- D.(-1,-1)
A B C D
A
[解析] 由方程组
得f的稳定点为:P
0(-1,-1)、P
1(-1,1)、P
2(3,-1)、P
3(3,1)。而由A=f"
xx=6x-6,B=f"
xy=0,C=f"
yy=-6y可得:
在P
0(-1,-1)处,A=-12<0,B=0,C=6,AC-B
2=-72<0,f不能取得极值;
在P
1(-1,1)处,A=-12<0,B=0,C=-6,AC-B
2=72>0,f取得极大值;
在P
2(3,-1)处,A=12>0,B=0,C=6,AC-B
2=72>0,f取得极小值;
在P
3(3,1)处,A=12>0,B=0,C=-6,AC-B
2=-72<0,f不能取得极值。
11. 求极限
时,下列各种解法中正确的是______。
A.用洛必达法则后,求得极限为0
B.因为
不存在,所以上述极限不存在
C.
D.因为不能用洛必达法则,故极限不存在
A B C D
C
[解析]
不存在,但极限存在,且不能用洛比达法。
12. 设f(x)满足
,当x→0时,lncosx
2是比x
nf(x)高阶的无穷小,而x
nf(x)是比e
sin2x-1高阶的无穷小,则正整数n等于______。
A B C D
A
[解析] 由
知,当x→0时,f(x)~-x
2,于是x
nf(x)~-x
n+2。
又当x→0时,
再根据题设有2<n+2<4,可见n=1。
14. 设函数f(z)在x=x
0的某邻域内连续,在x=x
0处可导,则函数f(x)|f(x)|在x=x
0处______。
- A.可导,且导数为2f(x0)f'(x0)
- B.可导,且导数为2f(x0)|f'(x0)|
- C.可导,且导数为2|f(x0)|f'(x0)
- D.不可导
A B C D
C
[解析] 令g(x)=f(x)|f(x)|。
当f(x
0)=0时,
当f(x
0)>0时,因为f(x)在x=x
0的某邻域内连续,所以,存在x
0的一个邻域,当x在该邻域内时,f(x)>0,有
同理可得,当f(x
0)<0时,
所以,函数f(x)|f(x)|在x=x
0处可导,且导数为2|f(x
0)|f'(x
0)。
16. 设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 设
,则
,所以f(x)在(0,+∞)内有界,由于
,可见f(x)在(0,+∞)内可导。
但
不存在,
19. 已知xy=kz(k为正常数),则
等于______。
A.1
B.-1
C.k
D.
A B C D
B
[解析] 将方程整理为F(x,y,z)=0的形式,即xy-kz=0,则有
20. 二元函数
,在点(0,0)处______。
- A.连续,偏导数存在
- B.连续,偏导数不存在
- C.不连续,偏导数存在
- D.不连续,偏导数不存在
A B C D
C
[解析] 偏导数可按定义计算,而是否连续,要求先确定其极限,若极限不存在,则必定不连续。由偏导数的定义知,
同理,f'
y(0,0)=0。可见在点(0,0)处f(x,y)的偏导数存在。
而当y=kx时,有:
。当k不同时,
不同,故
不存在,因而f(x,y)在点(0,0)处不连续。
21. 已知
为某函数的全微分,则a等于______。
A B C D
D
[解析] P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某函数u(x,y)的全微分du(x,y),即:
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy的充要条件是:
由题设
为某函数的全微分的充要条件是:
即(a-2)x-ay=-2y,(a-2)(x-y)=0。当且仅当a=2时上式恒成立。
23. 在区间(-∞,+∞)内,方程
______。
- A.无实根
- B.有且仅有一个实根
- C.有且仅有两个实根
- D.有无穷多个实根
A B C D
C
[解析] 将方程根的讨论先转化为函数零点的讨论,零点的存在性用介值定理,个数或惟一性利用单调性或极值加以说明。令
,由于f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数,因此只需考虑f(x)=0在(0,+∞)内的实根情况。
当x≥0时,
可见,当
时,f'(x)>0,f(x)在
内单调增加,且f(0)=-1,
,因此f(x)=0在
上有惟一实根;
当
时,f(x)>0,故在(0,+∞)上f(x)仅存在惟一实根。
根据f(x)关于y轴对称的性质,f(x)=0在(-∞,+∞)上有且仅有两个实根。
24. 已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且
,则______。
- A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点
- B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点
- C.点(0,0)是f(x,y)的极小值点
- D.根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
A B C D
A
[解析] 由题设,容易推知f(0,0)=0,因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值点,关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号。
由
知,分子的极限必为零,从而有f(0,0)=0,且f(x,y)-xy≈(x
2+y
2)
2(|x|,|y|充分小时),于是f(x,y)-f(0,0)≈xy+(x
2+y
2)
2。
可见当y=x且|x|充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈x
2+4x
4>0;
而当y=-x且|x|充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈-x
2+4x
4<0。
故点(0,0)不是f(x,y)的极值点。
28. 定积分
等于______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
29. 设f(x)是连续函数,且
,则f(x)=______。
A.x
2 B.x
2-2
C.2x
D.
A B C D
D
[解析] 因为f'(x)=2x,故f(x)=x
2+C;又令
,则
,得
。因此
,得
。
30. 下列广义积分中发散的是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
,故C项积分发散。
31. 二次积分
交换积分次序后的二次积分是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 根据原积分上下限,积分区域为曲线y=x
2和直线y=x包围的区域,交换积分次序后,y范围应为0~1,x范围应为
,故D项正确。
32. 若D是由y=x,x=1,y=0所围成的三角形区域,则二重积分
在极坐标系下的二次积分是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 画出区域D的图形,在极坐标下,区域D可表为:
变量可表示为:x=rcosθ,y=rsinθ,dxdy=rdrdθ。
故
34. 设L是连接点A(1,0)及点B(0,-1)的直线段,则对弧长的曲线积分
等于______。
A.-1
B.1
C.
D.
A B C D
D
[解析] 直线L的方程为:y=x-1,则
35. 设L为连接(0,2)和(1,0)的直线段,则对弧长的曲线积分
=______。
A.
B.2
C.
D.
A B C D
D
[解析] 直线L方程为:y=-2x+2,故:
36. 抛物线y
2=4x与直线x=3所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 根据定积分的运用,抛物线y
2=4x与直线x=3所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积为:
37. 曲线
与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积等于______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 旋转体体积为:
38. 设D是由y=x,y=0及
所围成的第一象限区域,则二重积分
等于______。
- A.πa2/8
- B.πa2/4
- C.3πa2/8
- D.πa2/2
A B C D
A
[解析] 直线y=x,y=0及曲线
所围成的是一个处于第一象限内的以a为半径的
的圆的区域,而二重积分
表示上述区域的面积,所以二重积分
39. 圆周ρ=cosθ,ρ=2cosθ及射线θ=0,
所围的图形的面积S等于______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 根据积分区域可得,
40. 计算
,其中Ω为z
2=x
2+y
2,z=1围成的立体,则正确的解法是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 采用坐标变换
,则区域Ω可表示为:Ω'={(r,θ,z);r≤z≤1,0≤r≤1,0≤θ≤2π},所以
41. 不定积分
等于______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
42.
=______。
A.
B.
C.tan(1+x)
D.
A B C D
B
[解析] 因为
,故
43.
等于______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 分部积分法:
45. 若f(x)的一个原函数是
,则∫xf'(x)dx=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
,则:
47. 已知
,设
,则F(x)为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由于f(x)为分段函数,所以计算F(x)时也应分段进行。
当0≤x<1时,
当1≤x≤2时,
故
48. 设
,则极限
等于______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 先用第一类换元积分法计算积分得a
n,再利用
求极限。
可见
49. 广义积分
,则c等于______。
A.π
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 根据题意:
因此,