计算题1. 电路如图1所示，已知L
1=3H，L
2=6H，R=9Ω。若以i
s(t)为输入，以u(t)为输出，求其冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。
图1
解：画出题中电路的零状态s域电路模型(图2)。
图2
将电流源与感抗sL
1并联转换为电压源sL
1I
s(s)与sL
1串联，再利用分压公式，得
可解得系统函数为
将元件参数代入，得
取逆变换，可得系统的冲激响应为
h(t)=2δ'(t)-2δ(t)+2e
-tε(t)
系统阶跃响应的象函数为
取逆变换，可得系统的阶跃响应为
g(t)=2δ(t)-2e
-tε(t)
2. 如图所示系统，已知
，H(jω)=jsgn(ω)，求系统的输出y(t)。
解：设上端乘法器的输出为x
1(t)，下端乘法器的输出为x
2(t)，则
y(t)=x
1(t)+x
2(t)
因为
所以
取τ=4，则
所以
即
F(jω)=F[f(t)]=g
4(ω)
因为
x
1(t)=f(t)cos(4t)
所以
因为
F(jω)H(jω)=jg
4(ω)sgn(ω)
所以
所以
由
及频移特性，得
所以
即
3. f
1(t)=tε(t)，f
2(t)=ε(t)；
解：
4. f
1(t)=e
-2tε(t)，f
2(t)=ε(t)；
解：
5. f
1(t)=f
2(t)=e
-2tε(t)；
解：
6. f
1(t)=e
-2tε(t)，f
2(t)=e
-3t(t)；
解：
7. f
1(t)=tε(t)，f
2(t)=e
-2tε(t)；
解：
8. f
1(t)=ε(t+2)，f
2(t)=ε(t-3)；
解：
9. f
1(t)=ε(t)-ε(t-4)，f
2(t)=sin(πt)ε(t)；
解：
10. f
1(t)=tε(t)，f
2(t)=ε(t)-ε(t-2)；
解：
11. f
1(t)=tε(t-1)，f
2(t)=ε(t+3)；
解：
12. f
1(t)=e
-2tε(t+1)，f
2(t)=ε(t-3)。
解：
13. 利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)；
解：f(t)=g
2(t-2)+g
2(t+2)
因为
利用延时性质，得
利用线性性质，得
即
F(jω)=2Sa(ω)(e
-j2ω+e
j2ω)
=2Sa(ω)2cos2ω
=4Sa(ω)cos2ω
14. 利用时域的积分定理；
解：令f
1(t)=δ(t+3)-δ(t+1)+δ(t-1)-δ(t-3)
则
f'(t)=f
1(t)，
利用
，得
F
1(jω)=F[f
1(t)]=e
j3ω-e
jω+e
-jω-e
-j3ω =2j(sin3ω-sinω)
=4jsinω·cos2ω
利用时域积分定理，得
15. 将f(t)看作门函数g
2(t)与冲激函数δ(t+2)，δ(t-2)的卷积之和。
解：
f(t)=g
2(t)*δ(t+2)+g
2(t)*δ(t-2)
因为
利用时域卷积定理、线性性质，得
F(jω)=2Sa(ω)e
j2ω+2Sa(ω)e
-j2ω =2Sa(ω)(e
j2ω+e
-j2ω)
=4Sa(ω)·cos2ω
16. 描述系统的方程为y'(t)+2y(t)=f'(t)-f(t)，求其冲激响应和阶跃响应。
解：求冲激响应h(t)。
系统满足
h'(t)+2h(t)=δ'(t)-δ(t) (1)
选取新变量h
1(t)满足
h'
1(t)+2h
1(t)=δ(t) (2)
所以
h(t)=h'
1(t)-h
1(t)
由式(2)容易得
h
1(0
+)=1
式(2)的解为h
1(t)=c
1e
-2tε(t)，将h
1(0
+)代入，解得c
1=1，所以
h
1(t)=e
-2tε(t)
h(t)=h'
1(t)-h
1(t)
=δ(t)-3e
-2tε(t)
系统的阶跃响应为
17. 输入为单位阶跃函数ε(t)；
解：
yf(t)=f(t)*h(t)
=ε(t)*h(t)
=ε(t)*[ε(t)-ε(t-2)]
=ε(t)*ε(t)-ε(t)ε(t-2)
=tε(t)-(t-2)ε(t-2)
18. 输入为f
1(t)如图(b)所示；
解：f1(t)=ε(t-2)-ε(t-3)
所以
yf(t)=f1(t)*h(t)
=[ε(t-2)-ε(t-3)]*[ε(t)-ε(t-2)]
=ε(t-2)*ε(t)-ε(t-3)*ε(t)-ε(t-2)*ε(t-2)+ε(t-2)ε(t-3)
=(t-2)ε(t-2)-(t-3)ε(t-3)-(t-4)ε(t-4)+(t-5)ε(t-5)
19. 输入为f
2(t)如图(c)所示；
解：
所以
20. 输入为f
3(t)如图(d)所示；
解：
所以
22. 如图所示的系统，它由几个子系统组合成，各子系统冲激响应分别为
h
a(t)=δ(t-1)
f
h(t)=ε(t)-ε(t-3)
求复合系统的冲激响应。
解：由题图设加法器输出为x(t)，所以
x(t)=f(t)+f(t)*ha(t)+f(t)*ha(t)*ha(t)
当x(t)=δ(t)时，有
x(t)=δ(t)+δ(t)*ha(t)+δ(t)*ha(t)*ha(t)
=δ(t)+ha(t)+ha(t)*ha(t)
=δ(t)+δ(t-1)+δ(t-2)
h(t)=y(t)=x(t)*hb(t)
=[δ(t)+δ(t-1)+δ(t-2)]*[ε(t)-ε(t-3)]
=ε(t)+ε(t-1)+ε(t-2)-ε(t-3)-ε(t-4)-ε(t-5)
23. y(k)-2y(k-1)=f(k)
f(k)=2ε(k)，y(-1)=-1
解：
求零输入响应，由已知方程，得
yx(k)-2yx(k-1)=0 (1)
解式(1)，可得
yx(k)=c2kε(k)
因为
yx(-1)=y(-1)=-1
所以由式(1)可得
yx(0)=2yx(-1)=-2
c=-2
即
yx(k)=-2k+1ε(k)
求零状态响应：
yf(k)-2yf(k-1)=f(k)=2ε(k) (2)
由式(2)知yf(0)-2yf(-1)=2，即
yf(0)=2+2yf(-1)=2
设式(2)的特解为yfp(k)=A代入式(2)解得A=-2，所以
yf(k)=yfh(k)+yfp(k)=(c12k-2)ε(k)
将yf(0)=2代入上式，得c1-2=2，所以
c1=4
yf(k)=(42k-2)ε(k)
y(k)=yx(k)+yf(k)=(2k+1-2)ε(k)
24. y(k)+2y(k-1)=f(k)
f(k)=2
kε(k)，y(-1)=1
解：求零输入响应。由已知得
y
x(k)+2y
x(k-1)=0 (3)
y
x(-1)=y(-1)=1
所以
y
x(0)=-2y
x(-1)=-2
由式(3)，得
y
x(k)=c(-2)
kε(k)
将y
x(0)代入上式，解得c=-2，所以
y
x(k)=(-2)
k+1ε(k)
求零状态响应：
y
f(k)+2y
f(k-1)=f(k)=2
kε(k) (4)
由式(4)，得
y
f(0)+2y
f(-1)=1
所以
y
f(0)=1-2y
f(-1)=1
式(4)的齐次解为
y
fh(k)=c
1(-2)
kε(k)
设特解为y
fp(k)=c
22
k，所以
将y
f(0)=1代入上式，解得
，所以
所以全响应为
25. y(k)+2y(k-1)=f(k)
f(k)=(3k+4)ε(k)，y(-1)=-1
解：求零输入响应。
由已知得
yx(k)+2yx(k-1)=0 (5)
yx(-1)=y(-1)=-1
yx(0)=-2，yx(-1)=2
参照第二小题可知
yx(k)=2(-2)kε(k)
求零状态响应：
yf(k)+2yf(k-1)=f(k)=(3k+4)ε(k) (6)
yf(0)=f(0)-2yf(-1)=4
式(6)齐次解为
yfh(k)=c1(-2)k
设其特解为yfp(k)=Ak+B将其代入式(6)，有
Ak+B+2A(k-1)+2B=3k+4
A=1，B=2
yf(k)=yfh(k)+yfp(k)
=[c1(-2)k+k+2]ε(k)
将yf(0)=4代入上式，解得c1=2，所以
yf(k)=[2(-2)k+k+2]ε(k)
y(k)=yx(k)+yf(k)
=[4(-2)k+k+2]ε(k)
26. y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k)
f(k)=ε(k)，y(-1)=1，y(-2)=0
解：求零输入响应。
由已知得
y
x(k)+3y
x(k-1)+2)y
x(k-2)=0 (7)
y
x(0)=-3y
x(-1)-2y
x(-2)
=3y(-1)-2y(-2)=-3
y
x(1)=-3y
x(0)-2y
x(-1)
=-3×(-3)-2×1=7
因为特征方程为
λ
2+3λ+2=0
所以
λ
1=-1，λ
2=-2
y
x(k)=c
1(-1)
k+c
2(-2)
k，k≥0
将y
x(0)、y
x(1)代入上式，得
c
1+c
2=-3
-c
1-2c
2=7
由以上两式，解得
c
1=1，c
2=-4
所以
y
x(k)=[(-1)
k-4(-2)
k]ε(k)
求零状态响应：
y
f(k)+3y
f(k-1)+2y
f(k-2)=f(k)=ε(k) (8)
由式(8)，得
y
f(0)=1-3y
f(-1)+2y
f(-1)=1
y
f(1)=f(1)-3y
f(0)-2y
f(-1)=-2
齐次解为
y
fh(k)=c1(-1)
k+c
2(-2)
k 设特解为y
fp(k)=A，则
A+3A+2A=1
所以 A=1/6
所以
将y
f(0)、y
f(1)代入上式，得
所以
27. y(k)+2y(k-1)+y(k-2)=f(k)
解：求零输入响应：
y
x(k)+2y
x(k-1)+y
x(k-2)=0 (9)
由式(9)，得
y
x(0)=-2y
x(-1)-y
x(-2)=-2y(-1)-y(-2)=-2*3-(-5)=-6+5=-1
y
x(1)=-2y
x(0)-y
x(-1)=-2(-1)-3=-1
特征方程为
λ
2+2λ+1=0
所以
λ
1=λ
2=-1
y
x(k)=(c
1k+c
2)(-1)
k，k≥0
将y
x(0)、y
x(1)代入上式，解得c
1=2，c
2=-1，所以
y
x(k)=(2k-1)(-1)
kε(k)
求零状态响应：
(10)
因为 y
f(-1)=y
f(-2)=0
所以由式(10)，得
y
f(0)=3-2y
f(-1)-y
f(-2)=3
式(10)齐次解为
y
fh(k)=(c
1k+c
2)(-1)
k，k≥0
由式(10)设特解为
，将其代入式(7)，有
即
将y
f(0)=3，y
f(1)=-9/2代入上式，得
全解
y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+4f(t)
求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。28. f(t)=ε(t)，y(0
+)=1，y(0
+)=3；
解：对微分方程两边取拉普拉斯变换，利用微分特性，得
s
2Y(s)-sy(0
-)-y'(0
-)+3sY(s)-3y(0
-)+2Y(s)=sF(s)+4F(s)
解得
式中：
将
代入式(2)中，得
对上式取逆变换，得零状态响应为
y
zs(t)=(2-3e
-t+e
-2t)ε(t)
由此，可得y
zs(0
+)=0，y'
zs(0
+)=1，则有
y(0
-)=y
zi(0
-)=y
zi(0
+)=y(0
+)-y
zs(0
+)=1
y'(0
-)=y'
zi(0
-)=y'
zi(0
+)=y'(0
+)-y'
zs(0
+)=2
将其代入式(1)中，得
对上式取逆变换，得零输入响应为
y
zi(t)=4(e
-t-3e
-2t)ε(t)
29. f(t)=e
-2tε(t)，y(0
+)=1，y(0
+)=2。
解：将
代入式(2)中，得
对上式取逆变换，得零状态响应为
y
zs(t)=[3e
-t-(2t+3)e
-2t]ε(t)
由此，可得y
zs(0
+)=0，y'
zs(0
+)=1，则有
y(0
-)=y
zi(0
-)=y
zi(0
+)=y(0
+)-y
zs(0
+)=1
y'(0
-)=y'
zi(0
-)=y'
zi(0
+)=y'(0
+)-y'
zs(0
+)=1
将其代入式(1)中，得
对上式取逆变换，得零输入响应为
y
zi(t)=(3e
-t-2e
-2t)ε(t)
30. 求下列图所示在t=0时接入的有始周期信号f(t)的象函数。
解：(1)令f(t)在第一个周期(0，T)内的信号用f
0(t)表示，则由图(a)，得
其象函数为
。
利用周期信号象函数的关系
，得
(2)令f(t)在第一个周期
内的信号用f
0(t)表示，则由图(b)，得
其象函数为
利用周期信号象函数的关系
，得
(3)令f(t)在第一个周期(0，T)内的信号用f
0(t)表示，则由图(c)，得
其象函数为
利用周期信号象函数的关系
，得
(4)令f(t)在第一个周期(0，T)内的信号用f
0(t)表示，则由图(d)，得
其象函数为
利用周期信号象函数的关系
，得
深色：已答题 浅色：未答题