一、单项选择题5. 若f(x+y,x-y)=x
2-y
2，则
______
A B C D
C
[解析] f(x+y，x-y)=x
2-y
2=(x+y)(x-y)，所以f(x，y)=xy，因此
故选C．
6. 同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为______
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[解析] 正面反面都出现，可以是一正二反或二正一反，
即
故应选D．
7. 若级数
收敛，则下列级数中收敛的是______
A．
B．
C．
D．
A B C D
A
[解析] 根据无穷级数的运算性质可以断定
收敛，而其他选项均发散．故应选A．
8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且
则f'(1)=______
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[解析]
故应选D．
9. 由方程xy+lny=1确定的隐函数x=x(y)的微分dx______
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析] 两边微分，得
即(xy+1)dy+y
2dx=0，
所以
故应选C．
10. 设函数y=y(x)满足y=xlny，则
______
A．
B．lny
C．
D．
A B C D
C
[解析] 两边同时对x求导，得
，故选C．
二、填空题1. 设D={(x，y)|x
2+y
2≤1}，则
=______．
[解析]
2. 设f(x，y)=e
-xsin(x+2y)，则
0
[解析] 由于f(0，y)=sin2y，则
，所以
3. 设函数
在x=0处连续，则a=______．
2
[解析]
且f(0)=2，由连续的充要条件知a=2．
4. 曲线
在点(-1，1，-1)处的切线方程为______．
[解析] 点(-1，1，-1)处对应的t=-1，
故切线的方向向量s={x'(t)|
t=-1，y'(t)|
t=-1，z'(t)|
t=-1}={1，-2，3}
故切线方程为
5. 曲线y=xe
-x的拐点是______．
(2，2e-2)
[解析] 因为y'=(1-x)e-x，y"=(x-2)e-x，令y"=0得x=2，
当x＜2时，y"＜0，当x＞2时，y"＞0，
故拐点坐标为(2，2e-2)．
6. 设y=sin(lnx
2)，则y'=______．
[解析]
7.
[解析]
8. 向量组α
1=(1，2，-1，1)，α
2=(2，0，3，0)，α
3=(-1，2，-4，1)的秩为______．
2
[解析]
因此，α
1，α
2，α
3的秩为2．
10. 若z=x+y+f(x-y)，且当y=0时z=x
2，则f(x)=______．
x2-x
[解析] 取y=0，得x2=x+f(x)，所以f(x)=x2-x．
三、解答题1. 如果某产品Q(单位：吨)Q=10000-100P，生产该产品的成本函数为TC=6000+20Q，求：
(1)利润最大化时的产量；
(2)政府对生产者征税每吨10元时，利润最大化时的产量及利润．
(1)由已知条件得：P=100-0.01Q，利润函数为
π=TR-TC=PQ-TC=(100-0.01Q)Q-6000-20Q
=80Q-0.01Q
2-6000，
根据利润最大化一阶条件π'=0，得
利润最大化时的产量为4000；
(2)政府对生产者征税后，新成本函数为TC=6000+30Q，利润函数为
π=TR-TC=PQ-TC=(100-0.01Q)Q-6000-30Q=70Q-0.01Q
2-6000，
根据利润最大化一阶条件π'=0，得
利润最大化时的利润为
π=TR-TC=PQ-TC
=65×3500-6000-30×3500=116500．
2. 过曲线y=x
2(x≥0)上某点A作切线，若切线、曲线、x轴围成的面积为
，求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
设A点坐标为
，由y'=2x得切线方程为
即
由
所以x
0=1，切点A(1，1)．
切线方程为2x-y-1=0，切线与x轴交点为
3. 设y=f(x)由xy+ey=e所确定，求y'(0)．
x=0，y=1．两边对x求导，得
4. 用夹逼准则求极限
，则______
，则y"(0)=______
故选A．
则
=______．
深色：已答题 浅色：未答题