一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 设随机变量X～N(0，1)，Y的分布为
，且X，Y相互独立．记F
Z(z)为Z=XY的分布函数，则F
Z(z)的间断点个数为______
A B C D
B
[解析] 记y
1=-1，y
2=0，y
3=1，由事件分解：
由全概率公式，得
所以有
F
Z(z)=P(XY≤z)
=P(Y=-1)P[X·(-1)≤z]+P(Y=0)P(X·0≤z)+
P(Y=1)P(X·1≤z)
因为Φ(z)无间断点，因此只需考虑概率P(0≤z).
由于当z＜0时，有P(0≤z)=0；当z＞0时，有P(0＜z)=1．
从而z=0是F
Z(z)的唯一间断点．
3. 设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是______．
- A.若A2～B2，则A～B
- B.矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等
- C.若A，B的特征值相同，则A～B
- D.若A～B，且A可相似对角化，则B可相似对角化
A B C D
D
[解析] 由A～B得A，B的特征值相同，设为λ
1，λ
2，…，λ
n，
且存在可逆矩阵P
1，使得
因为A可相似对角化，所以存在可逆矩阵P
2，使得
4. 设矩阵
矩阵A～B，则r(A-E)+r(A-3E)=______
A B C D
A
[解析] 由矩阵B的特征多项式
可得B的特征值为λ
1=0，λ
2=-2，λ
3=λ
4=3．因为A～B，所以矩阵A与矩阵B有相同的特征值．又因为B是实对称矩阵，故B可相似于对角矩阵．从而，矩阵A也可相似于对角矩阵．所以，矩阵A的2重特征值λ
3=λ
4=3，必有2个线性无关的特征向量．由此可知，r(3E-A)=n-2=4-2=2，即r(A-3E)=2．又因为λ=1不是矩阵A的特征值，从而|E-A|≠0．所以，r(E-A)=4，即r(A-E)=4．因此，r(A-E)+r(A-3E)=4+2=6．选A．
5. 设以a
n＞0(n=1，2，…)，下述命题正确的是______
A．设存在N＞0，当n＞N时，
，则
必收敛．
B．设
收敛，则必存在N＞0，当n＞N时，
C．设存在N＞0，当n＞N时，
，则
必发散．
D．设
发散，则必存在N＞0，当n＞N时，
A B C D
C
[解析] 在C的条件下，必有
，从而推知级数发散．A的反例：
但
发散；B的反例：
收敛．但当n为奇数时，
D的反例见A的反例．
6. 矩阵
与______相似．
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[考点] 矩阵相似的判别．
[解析] 利用矩阵相似的必要条件排除A、B、C项；或者直接判别题目中矩阵与D项的矩阵都与同一个对角阵相似．
解：令矩阵
，则A的特征值为1和2．
而A选项中矩阵的特征值为-1和-2，故矩阵A不与A选项的矩阵相似．
又因为
，而B选项中
，C选项中
，故矩阵A不与B、C选项的矩阵相似．
所以，矩阵A与D选项的矩阵相似．
事实上，
和
均与对角阵
相似．再由相似的传递性，
和
相似．
故应选D．
7. 设函数f(u，v)连续，
，则
A．f(x，y)．
B．f(y，x)．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 交换积分次序，则有
记
，则
两边再对y求导，
二、填空题1. 设f(x)连续，对于任意x＞0，f(x)＞0，且有
贝0当x≥0时，f(x)=______．
[解析] 当x=0，
又
两边求导，得2f(x)f'(x)=f(x)；
当x＞0，f(x)＞0，
∴
又f(0)=0，∴C=0．
2. 曲线
在点(0，1)处的法线方程为______．
2x+y-1=0
[考点] 参数方程的导数及导数的几何意义．
[解析] 利用参数方程求导可求得切线斜率，从而得到法线斜率．
解：
当x=0时，t=0，
．
所以法线斜率k=-2，则曲线在点(0，1)处的法线方程为
y-1=-2x，即2x+y-1=0．
故应填2x+y-1=0．
3. 设f(x)连续，且f(0)=0，f'(0)=2，则
[解析]
4. 直线
在yOz平面上的投影直线l绕Oz轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为______．
x2+y2-z2+4z-4=0
[解析] 直线
在yOz平面上的投影直线l的方程为y+z=2，即y=2-z，它绕Oz轴旋转一周生成的旋转曲面方程为
，即x
2+y
2=4-4z+z
2，即如答案所示．
5. 函数f(x，y)=3+9x-6y+4x
2-5y
2+2xy+x
3+2xy
2-y
3在点(1，-1)展开至n=2的泰勒公式为f(x，y)=______+R
2，其中余项R
2=______．
[解析] x
0=1，y
0=-1，则
所以f(x，y)在点(1，-1)处的2阶泰勒公式为
2阶泰勒公式的余项
6.
三、解答题本题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．1. 设f(x)，g(x)二阶可导，当x＞0时，f"(x)＞g"(x)且f(0)=g(0)，f'(0)=g'(0)，证明：当x＞0时，f(x)＞g(x)．
证明：令
F(x)=f(x)-g(x)，
F'(x)=f'(x)-g'(x)，
F"(x)=f"(x)-g"(x)．
因为当x＞0时，f"(x)＞g"(x)，所以当x＞0时，F"(x)＞0，即F'(x)单调递增．
又f'(0)=g'(0)，即F'(0)=0．所以F'(x)＞F'(0)=0，因之F(x)单调递增．
又因为f(0)=g(0)，即F(0)=0，故F(x)＞F(0)=0．
即f(x)-g(x)＞0，亦即f(x)＞g(x)．
的矩阵合同于
2. 求常数a；
解：
则f(x
1，x
2，x
3)=X
TAX．
因为A与
合同，所以r(A)=2＜3，故|A|=0．
由|A|=
=3(2a-10)=0，得a=5，
3. 用正交变换法化二次型f(x
1，x
2，x
3)为标准形．
解：由|λE-A|=
=λ(λ-4)(λ-9)=0，得λ
1=0，λ
2=4，λ
3=9.
由(0E-A)X=0得
由(4E-A)X=0得
由(9E-A)X=0得
单位化得
4. 设由
所围区域的面积为S(t)，求S(t)的最大值与最小值．
解：如图所示，
由S'(t)=0解出唯一驻点
，因此
为极小值．又
，所以S(t)最大值为1，最小值为
5. 设A，B均为n阶方阵，ABA=B
-1，E为n阶单位阵，证明：
r(E-AB)+r(E+AB)=n．
证明：因为ABA=B
-1
ABAB=E
(E-AB)(E+AB)=O，
所以r(E-AB)+r(E+AB)≤n． ①
又(E-AB)+(E+AB)=2E，
所以r(E-AB)+r(E+AB)≥r(2E)=n， ②
由①，②，得r(E-AB)+r(E+AB)=n．
6. 已知f(x)在x=a处可导，且f(x)＞0，n为自然数．
求
解：
7. 证明：向量组α
1，α
2，α
3线性无关．
证明：由Aα1=α1得(A-E)α1=0，
由Aα2=α1+α2得(A-E)α2=α1，
由Aα3=α2+α3得(A-E)α3=α2．
令k1α1+k2α2+k3α3=0 1)
两边左乘以(A-E)得
k2α1+k3α2=0， 2)
两边再左乘(A-E)得k3α1=0，
由α1≠0得k3=0，代入2)得k2α1=0，则k2=0，
再代入1)得k1α1=0，从而k1=0，于是α1，α2，α3线性无关．
8. 证明：A不可相似对角化．
证明：令P=(α
1，α
2，α
3)，
由(Aα
1，Aα
2，Aα
1)=(α
1，α
1+α
2，α
2+α
3)得
由|λE-A|=|λE-B|=(λ-1)
3=0得A的特征值为λ
1=λ
2=λ
3=1，
因为r(E-B)=2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，
而A～B，故A不可相似对角化．
9. 计算三对角行列式D
n之值．
解：按第一列展开得
即有递推关系式D
n=(α+β)D
n-1-αβD
n-2．
为了得到D
n的一般表达式，采用上述方法1°求解
因为(假设α≠β)，
不妨设
则有
根据数学归纳法即知
若α=β，可直接计算得D
n=(n+1)α
n．
10. 这个球是红球的概率；
解：A=“取得一个红球”，
B
i=“第i盒中取出一个红球”，(i=1，2)．
于是，
构成一个完备事件群．
所以，
11. 重复上述过程10次，记X表示出现取出的球为红球的次数，求EX
2．
12. 将函数
展开成(x-1)的幂级数．
解：
因为
又
所以
由
可知-1＜x＜3，故展开式成立的范围是(-1，3)．
其中α，β，γ2，γ3均为三维行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，则行列式|A-B|等于
深色：已答题 浅色：未答题