一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0，Ω为x
2+y
2+z
2≤t
2，则
A．f(0)．
B．f'(0)．
C．πf'(0)．
D．
A B C D
C
[解析]
3. 下列各组矩阵相似的是______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[考点] 矩阵相似的判定．
[解析] 利用相似的传递性直接证明B项中矩阵相似，或者利用相似的必要条件排除错误选项．
解：因为相似矩阵的秩相等，由
的秩为1，而
的秩为2，故A项中的矩阵不能相似．
因为相似矩阵的行列式的值相等，由于
，而
，故C项中的矩阵不相似．
因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等．由于
的对角线元素之和为6，而
的对角线元素之和为4，故D中的矩阵不相似．因此只能选B．事实上，
和
都与对角矩阵
相似，因而
与
相似．
4. 设随机变量X～N(μ，4
2)，Y～N(μ，5
2)，记p
1=P{X≤μ-4}，p
2=P{Y≥μ+5}，则______．
- A.对任意实数μ，有p1=p2
- B.对任意实数μ，有p1＜p2
- C.对任意实数μ，有p1＞p2
- D.对μ的个别值，有p1=p2
A B C D
A
[考点] 考查正态分布．
[解析] 化标准正态分布进行计算．
解：由于
，所以
故p
1=p
2，而且与μ的取值无关．
故应选A．
5. 设n维列向量α
1，α
2，α
3线性无关，向量β
1可由α
1，α
2，α
3线性表示，向量β
2不可由α
1，α
2，α
3线性表
- A.α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关
- B.α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关
- C.α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关
- D.α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
A B C D
A
[考点] 向量组线性关系的判别．
[解析] 对于抽象的向量组，可以用定义法，也可以用排除法．
解：设有一组数字λ1，λ2，λ3，λ4，满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+λ4(kβ1+β2)=0，
若λ4=0，则有条件λ1=λ2=λ3=0，从而推出α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．
若λ4≠0，则kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，故β2也可由α1，α2，α3线性表示，矛盾，所以，λ4=0，从而A项正确．对于其余三个选项，也可用排除法．
当k=0时，可排除B、C项；当k=1时，可排除D项．
故应选A．
6. 设f(x)连续，且当x→0时，
是与x
3等价的无穷小量，则f(0)=______
A．
B．
C．
D．
A B C D
A
[解析] 由等价无穷小的定义，得
从而有
7. 假设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是______
- A.如果(X，Y)服从二维正态分布，则X与Y一定独立
- B.如果(X，Y)服从二维正态分布，则X与Y一定不独立
- C.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则X与Y一定都不服从正态分布
- D.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则X与Y不一定都不服从正态分布
A B C D
D
[解析] 由二维正态分布的性质知，如果(X，Y)服从二维正态分布，则X与Y独立
X与Y不相关
ρ=0，而二维正态分布中的ρ未必为零，故A，B不正确．
对于(X，Y)不服从二维正态分布的，其边缘分布可以都是正态分布，例如：
(X，Y)不服从二维正态分布，且
即 X～N(0，1)．
同理Y～N(0，1)，故应选D．
本题考查二维正态分布的性质．
8. 设f(x)为可导的偶函数，且满足
，则曲线y=f(x)在点(-1，f(-1))处的法线的斜率为______
A．
B．
C．-2．
D．2．
A B C D
A
[解析] 由题设f(-x)=f(x)，于是f'(-x)=-f'(x)．
又由
∴f'(1)=-2．
于是f'(-1)=-f'(1)=2．k
切|
x=-1=2．
选A．
三、解答题本题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．1. 试确定A，B，C的值，使得
e
x(1+Bx+Cx
2)=1+Ax+o(x
3)，
其中o(x
3)是当x→0时比x
3高阶的无穷小．
解：题设方程右边为关于x的多项式，要联想到e
x的泰勒级数展开式，比较x的同次项系数，可得A，B，C的值．
将e
x的泰勒级数展开式
代入题设等式得
整理得
比较两边同次幂系数得
[解析] 题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解．要熟练掌握常用函数的泰勒公式．
2. 设函数f(x)在[a，b]上满足a≤f(x)≤b，|f'(x)|≤q＜1，令u
n=f(u
n-1)，n=1，2，3，…，u
0∈[a，b]，证明：
绝对收敛．
证明：因为
|u
n+1-u
n|=|f(u
n)-f(u
n-1)|=|f'(ξ
1)||u
n-u
n-1|
≤q|u
n-u
n-1|=q|f(u
n-1)-f(u
n-2)|
=q|f'(ξ
2)||u
n-1-u
n-2|
≤q
2|u
n-1-u
n-2|≤…≤q
n|u
n-u
0|，
又级数
收敛，所以级数
绝对收敛．
3. 求
其中S为
在第一卦限是0≤z≤1的部分的上侧．
解：添加曲面
S
1：y=0，(x，z)∈D
zx，cosβ=-1，
S
2：x=0，(y，z)∈D
yz，cosα=-1，
S
3：z=1，(x，y)∈D
xy，cosγ=1，
则
又A*α=α，其中α=(1，1，-1)T．4. 求矩阵A；
解：显然A的特征值为λ
1=2，λ
2=-1，λ
3=-1，|A|=2，伴随矩阵A
*的特征值为μ
1=1，μ
2=-2，μ
3=-2．由A
*α=α得AA
*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，-1)
T是矩阵A的对应于特征值λ
1=2的特征向量．
令ξ=(x
1，x
2，x
3)
T为矩阵A的对应于特征值λ
2=-1，λ
3=-1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以α
Tξ=0，即x
1+x
2-x
3=0，于是λ
2=-1，λ
3=-1对应的线性无关的特征向量为
5. 求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x
1，x
2，x
3)=X
TAX化为标准形．
解：
6. 设
证明存在ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．
证明：由题设知f(x)是关于x的不多于三次的多项式，故它在[0，1]上连续，在(0，1)内可导．且
由罗尔中值定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)使f'(ξ)=0．
7. β能否由α
1，α
2，α
3线性表示?为什么?
解：假设可以，即β=k1α1+k2α2+k3α3，则(k1，k2，k3，0)T是Ax=β的解．
从而(k1，k2，k3，0)T-(-1，1，0，2)T=(k1+1，k2-1，k3，-2)T就是Ax=0的解．
但是显然(k1+1，k2-1，k3，-2)T和(1，-1，2，0)T线性无关．
所以β不可以由α1，α2，α3线性表示．
8. 求α
1，α
2，α
3，α
4，β的一个极大无关组．
解：因为(-1，1，0，2)T是Ax=β的解，则β=-α1+α2+2α4．
又因为(1，-1，2，0)T是Ax=0的解，则α1-α2+α3=0．
所以，β和α3都可由α1，α2，α4线性表示．
又由r(α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=3，所以，α1，α2，α4是极大无关组．
[考点] 方程组的解与向量组的线性关系之间的联系．
[解析] (Ⅰ)利用反证法；
(Ⅱ)由条件所给方程组的解，来确定向量之间的线性关系．
9. 求极限
．
解：利用泰勒公式：
，e
x2=1+x
2+o(x
2)，
则
所以
有3个线性无关的解，10. 证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；
解：设α
1，α
2，α
3是方程组AX=β的3个线性无关的解，其中
则α
1-α
2，α
1-α
3是对应齐次线性方程组AX=0的解，且线性无关．
所以n-r(A)≥2，即4-r(A)≥2
r(A)≤2．
又因矩阵A中有一个二阶子式
，所以r(A)≥2，因此r(A)=2．
11. 求a，b的值及方程组的通解．
解：因为
又因r(A)=2，则
当a=2，b=-3时，对原方程组的增广矩阵
进行初等行变换，即
先求对应齐次方程组的基础解系，
取x
3=1，x
4=0，得ξ
1=(-2，1，1，0)
T；
取x
3=0，x
4=1，得ξ
2=(4，-5，0，1)
T．
再求特解，
取x
3=0，x
4=0，得特解(2，-3，0，0)
T．
则所求通解为
12. 求曲面积分
其中，∑：x
2+y
2+z
2=1(z≥0)取上侧．
解：令∑
0：z=0(x
2+y
2≤1)，取下侧，则
由高斯公式得
，则实数a，b为______
则k=______.
，则
______．
dxdy的值是______．
．
的特解是______．
原方程化为
，故有
分离变量得
，故
于是
，则假设H0:μ=0的t检验使用统计量______．
，
，μ0=0，使用的统计量为
深色：已答题 浅色：未答题