一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．3. 设X和Y分别表示扔n次硬币出现正面和反面的次数，则X，Y的相关系数为______．
A．-1
B．0
C．
D．1
A B C D
A
[解析] 设正面出现的概率为p，则X～B(n，p)，Y=n-X～B(n，1-p)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)，E(Y)=n(1-p)，D(Y)=np(1-p)，Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)-Cov(X，X)，
因为Cov(X，n)=E(nX)-E(n)E(X)=nE(X)-nE(X)=0，
CoV(X，X)=D(X)=np(1-p)，所以
选A．
6. 设当x→0时，(1-cosx)ln(1+x
2)是比xsinx
m高阶的无穷小，而xsinx
m是比e
x2-1高阶的无穷小，则正整数m等于______．
A B C D
B
[考点] 无穷小阶的比较．
[解析] 利用无穷小阶的定义．
解：由条件知
所以m＜3，而
，所以m＞1．
综上知正整数m=2．
故应选B．
7. 设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X
1，X
2，…，X
n为来自总体X的简单随机样本．记
，
，其中a为常数．若E(T)＝λ
2，则a=______．
A．
B．
C．-1
D．1
A B C D
A
[考点] 统计量的数字特征．
[解析] 利用
解：因为X服从泊松分布P(λ)，则E(X)=D(X)=λ，
由E(T)=λ
2，可得
，则
．
故应选A．
8. 设总体X服从正态分布N(0，σ
2)(σ
2已知)，X
1，X
2，…，X
n是取自总体X的简单随机样本，S
2为样本方差，则______
A．
B．
C．
D．
A B C D
二、填空题1. 设X，Y为随机变量，已知D(X)=25，D(Y)=36，X与Y的相关系数ρ
XY=0.4，则cov(2X-3Y，X-Y)=______．
98
[解析] 因为
，则
cov(2X-3Y，X-Y)=2cov(X，X)-2cov(X，Y)-3cov(X，Y)+3cov(Y，Y)
=2D(X)+3D(Y)-5cov(X，Y)
=2×25+3×36-5×12=98．
2. 已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.4，则P{(A-B)|A∪B}=______．
[解析] 由题设可知，P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5×0.4=0.2，于是
3. 微分方程y"-9y=e
3x的通解为______．
(C
1，C
2为任意常数)
[解析] 特征方程为，r
2=
r
1=3，，r
2=-3．
故y"-9y=0的通解为y
1=C
1e
-3x+C
2e
3x(C
1，C
2为任意常数)．
由于非齐次方程右端的非齐次项为e
3x，指数上的3为特征方程的单根，故特解设为y
*=Axe
3x代入原方程，可得
，
所以原方程的通解为
．
4. 设f(x)在区间[-π，π]上连续且满足f(x+π)=-f(x)，则f(x)的傅里叶系数a
2n=______(n=1，2，…)．
0
[解析]
前一积分，令t=x+π，所以x=t-π，则
所以a
2n=O(n=0，1，2，…)
本题考查傅里叶系数．
5. 设总体X二阶矩存在，X
1，X
2，…，X
n是其简单样本，样本均值和方差分别为
和S
2．如果X服从(-θ，θ)内均匀分布，θ＞0，则θ的矩估计量为______．
[解析]
，期望为零，与θ无关，因此考虑方差
由矩估计方程D(X)=S
2，得
，解得θ的矩估计量为
6.
三、解答题本题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．求下列各式的不定积分．1. ∫e
ex+xdx；
解：∫eex+xdx=∫eexd(ex)=eex+C．
2.
解：
3. ∫x(1+x
2)
100dx；
解：
4.
解：
5.
解：
6.
解：
7. 设X，Y是独立同分布的离散型随机变量，分布律为
求矩阵
的秩为2的概率．
解：对A施行初等变换
因为r(A)=2，所以X+Y=0．又X+Y的分布律为
所以A的秩为2的概率为
可经初等变换化为矩阵
8. 求a；
解：A与B等价，则r(A)=r(B).
又
所以r(A)=r(B)=2，a=2.
9. 求满足AP=B的可逆矩阵P.
解：
AP=B，
得
对P做初等变换
又P可逆，所以|P|≠0，即k
2≠k
3.
最终
其中k
1,k
2,k
3为任意常数，且k
2≠k
3.
令
10. 求F
Y(y)；
解：F
Y(y)=P{Y≤y}．
①当y＜1时，F
Y(y)=P{Y≤y}=0；
②当y≥10时，F
Y(y)=P{Y≤y}=1；
③当1≤y＜2时，
④当2≤y＜10时，
∴
图1
图2
11. Cov(X，Y)．
解：
(f(x)为偶函数)
12. 设点M(ξ，η，ζ)是椭球面
上第一卦限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分
为最小，并求此最小值．
解：曲面
上点M(ξ，η，ζ)处的法向量为
，切平面方程是
化简即得
该切平面被三坐标面截得的三角形在xOy平面上的投影区域为
从而
所以
求I的最小值等价于求ω=ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c的最大值，约束条件是
由拉格朗日乘数法得
显然，当ξ=a或ξ=0时，ω最小，故当
时，ω最大，I的最小值为
13. 设对于在x＞0上可微的函数f(x)及其反函数g(x)，满足方程
求解f(x)．
解：方程两边对x求导，得
即
当x＞0时，有
积分得
又当f(x)=0时，
x=4，即f(4)=0，C=-2，所以
14. 设∑为x
2+y
2+z
2=1(2≥0)的外侧，连续函数f(x，y)，)满足f(x，y)=2(x-y)
2+
(z
2+e
z)dydz+y(z
2+e
z)dzdx+[zf(x，y)-2e
z]dxdy，求f(x，y)．
解：设
则f(x，y)=2(x-y)
2+a，设D为xOy平面上的圆x
2+y
2≤1，∑
下为D的下侧．
于是，
15. 设f"(x)＜0，f(0)=0，证明：对任何x
1＞0，x
2＞0有
f(x
1+x
2)＜f(x
1)+f(x
2)．
证明：由拉格朗日中值定理有
f(x1)=f(x1)-f(0)=x1f'(ξ1)，0＜ξ1＜x1，
f(x1+x2)-f(x2)=x1f'(ξ2)，x2＜ξ2＜x1+x2，
不妨设x1≤x2，从而ξ1＜ξ2，因为f"(x)＜0，所以f'(x)“↘”，又因为f'(ξ2)＜f'(ξ1)，
故f(x1+x2)-f(x2)＜x1f'(ξ1)=f(x1)，
即f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)．
[解析] 因为f(x)可导，又f(0)=0，可知一定可用拉格朗日中值定理证明．
16. 设随机变量X，Y相互独立且都服从N(μ，σ
2)分布，令Z=max(X，Y)，求E(Z)．
解：因为X，Y都服从N(μ，σ
2)分布，所以
，
且U，V相互独立，则X=σU+μ，Y=σV+μ，故Z=max(X，Y)=σmax(U，V)+μ，
由U，V相互独立得(U，V)的联合密度函数为
(-∞＜u，v＜+∞)．
于是E(Z)=σE[max(U，V)]+μ。
而
故
．
相似，则______
则其图形(如图所示)是
，
，则B=______
与S2独立，故有
深色：已答题 浅色：未答题